已知以$C_{1}$为圆心的圆$C_{1}$：$(x-6)^{2}+(y-7)^{2}=25.$及其上一点$A(2,4)$． (1)设圆$C_{2}$与$x$轴相切，与圆$C_{1}$外切，且圆心$C_{2}$在直线$x=6$上，求圆$C_{2}$的标准方程； (2)设平行于$OA$的直线$l$与圆$C_{1}$相交于$B$，$C$两点，且$|BC|=|OA|$，求直线$l$的方程．

1. 根据圆心所在直线及相切性质设出圆C2的标准方程及半径

因为圆心 $C_{2}$ 在直线 $x=6$ 上，所以可设圆心 $C_{2}(6,n)$．
因为圆 $C_{2}$ 与 $x$ 轴相切，所以圆 $C_{2}$ 的半径 $R_{2} = |n|$．
故可设圆 $C_{2}$ 的方程为：$(x-6)^{2}+(y-n)^{2}=n^{2}$．

2. 利用两圆外切的圆心距性质建立关于半径的绝对值方程

已知圆 $C_{1}：(x-6)^{2}+(y-7)^{2}=25$，其圆心为 $C_{1}(6,7)$，半径 $R_{1}=5$．
因为圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 外切，
所以圆心距 $d(C_{1}, C_{2}) = |7-n| = R_{1} + R_{2} = 5 + |n|$．

3. 求解绝对值方程求出圆心纵坐标并写出圆的标准方程

因为 $|7-n| = 5 + |n|$，且 $n>0$（若 $n\le 0$，则 $7-n=5-n$ 无解），
所以 $7-n = 5+n$，解得 $n=1$．
所以圆 $C_{2}$ 的标准方程为 $(x-6)^{2}+(y-1)^{2}=1$．

1. 根据平行关系确定直线l的斜率并设出其方程

因为 $O(0,0)$，$A(2,4)$，所以直线 $OA$ 的斜率为 $k_{OA} = \frac{4-0}{2-0} = 2$．
因为直线 $l \parallel OA$，所以可设直线 $l$ 的方程为 $y=2x+b$，即 $2x-y+b=0$．

2. 求出已知点A的距离OA作为弦长，并表示圆心到直线l的距离

线段 $OA$ 的长度为 $|OA| = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$．
已知 $|BC| = |OA| = 2\sqrt{5}$．
圆 $C_{1}(6,7)$ 到直线 $l：2x-y+b=0$ 的距离为 $d = \frac{|2 \times 6 - 7 + b|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$．

3. 利用垂径定理（勾股定理）建立关于b的方程并解出结果

在圆 $C_1$ 中，半径 $R = 5$．
由垂径定理（勾股定理）有：$\left(\frac{|BC|}{2}\right)^2 + d^2 = R^2$，
代入得：$(\sqrt{5})^2 + \frac{(5+b)^2}{5} = 25$，
化简得：$5 + \frac{(5+b)^2}{5} = 25 \implies (5+b)^2 = 100$．
解得 $b=5$ 或 $b=-15$．
故直线 $l$ 的方程为 $2x-y+5=0$ 或 $2x-y-15=0$．