函数$y=f(x)$的图像关于点$P(a,b)$成中心对称的充要条件是函数$y=f(x+a)-b$为奇函数，以下选项正确的有$(\quad).$

A. $f(x)=2x+1$关于$(\dfrac{1}{2},0)$中心对称

B. $f(x)=x^{3}-3x^{2}$关于$(1,-2)$中心对称

C. 函数$y=f(x)$的图像关于$x=a$成轴对称的充要条件是$y=f(x+a)$为偶函数

D. $f(x)=x^{2}-2x+5$，则$f(x-1)$为偶函数

1. 检验选项A是否正确

对于选项A：要验证 $f(x)=2x+1$ 关于 $P\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ 中心对称，根据题中条件，令 $a=\dfrac{1}{2}$，$b=0$。
计算 $g(x) = f\left(x+\dfrac{1}{2}\right) - 0 = 2\left(x+\dfrac{1}{2}\right) + 1 = 2x+2$。
因为 $g(-x) = -2x+2 \ne -g(x)$，所以 $g(x)$ 不是奇函数。
因此 $f(x)=2x+1$ 不关于点 $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ 中心对称，选项A错误。

2. 检验选项B是否正确

对于选项B：要验证 $f(x)=x^3-3x^2$ 关于 $P(1,-2)$ 中心对称，令 $a=1$，$b=-2$。
计算 $g(x) = f(x+1) - (-2) = (x+1)^3 - 3(x+1)^2 + 2 = (x^3+3x^2+3x+1) - (3x^2+6x+3) + 2 = x^3-3x$。
因为 $g(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3+3x = -g(x)$，所以 $g(x)$ 是奇函数。
因此 $f(x)=x^3-3x^2$ 关于点 $(1,-2)$ 中心对称，选项B正确。

3. 分析并判断选项C是否正确

对于选项C：
若函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 成轴对称，则有 $f(a+x) = f(a-x)$ 恒成立。
令 $g(x) = f(x+a)$，则有 $g(-x) = f(-x+a) = f(a-x) = f(a+x) = g(x)$，所以 $y=f(x+a)$ 是偶函数；
反之，若 $y=f(x+a)$ 为偶函数，则有 $f(x+a) = f(-x+a) = f(a-x)$，这意味着 $y=f(x)$ 关于直线 $x=a$ 成轴对称。
因此，其充要条件成立，选项C正确。

4. 检验选项D是否正确

对于选项D：$f(x) = x^2-2x+5 = (x-1)^2+4$，对称轴为 $x=1$。
由C选项可知，$f(x+1)$ 为偶函数。
而 $f(x-1) = (x-1-1)^2+4 = (x-2)^2+4 = x^2-4x+8$，显然它不是偶函数，选项D错误。