函数$f(x)$的定义域为$(0,+∞)$，且对一切$x>0$，$y>0$都有$f(\dfrac{x}{y})=f(x)-f(y)$，当$x>1$时，总有$f(x)>0.(1)$求$f(1)$的值； (2)判断$f(x)$的单调性并证明； (3)若$f(4)=6$，解不等式$f(x-1)\leqslant 3.$

1. 求 $f(1)$ 的值

令 $x=y=1$，代入已知等式 $f(\dfrac{x}{y})=f(x)-f(y)$ 中，
得 $f(\dfrac{1}{1}) = f(1) - f(1)$，
化简得 $f(1) = 0$.

1. 用单调性定义设出两个变量并作差变形

设 $x_1, x_2 \in (0, +\infty)$，且 $x_1 < x_2$．
利用已知恒等式，两函数值作差可变形为：
$f(x_2) - f(x_1) = f(\dfrac{x_2}{x_1})$．

2. 分析自变量之比的范围并判定对应函数值的符号

因为 $x_2 > x_1 > 0$，所以 $\dfrac{x_2}{x_1} > 1$．
根据题设条件，当 $x > 1$ 时，总有 $f(x) > 0$，
所以 $f(\dfrac{x_2}{x_1}) > 0$．

3. 得出单调性结论

因此 $f(x_2) - f(x_1) > 0$，即 $f(x_2) > f(x_1)$．
所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调递增函数．

1. 求出对应函数值为 3 时的自变量

在等式 $f(\dfrac{x}{y})=f(x)-f(y)$ 中，令 $x=4, y=2$，
得 $f(\dfrac{4}{2}) = f(4) - f(2)$，即 $f(2) = f(4) - f(2)$．
所以 $2f(2) = f(4) = 6$，解得 $f(2) = 3$．

2. 结合定义域和单调性将函数不等式转化为自变量不等式组

不等式 $f(x-1) \leqslant 3$ 可化为 $f(x-1) \leqslant f(2)$．
因为 $f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，且 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，
所以自变量需满足：
$\begin{cases} x-1 > 0 \\ x-1 \leqslant 2 \end{cases}$

3. 求解不等式组并得出最终解集

解不等式组得 $1 < x \leqslant 3$．
所以不等式的解集为 $(1, 3]$．