已知函数 $f(x)=\{\begin{matrix}lo{g}_{2}x,x\geqslant 1, \\ x+c,x < 1,\end{matrix}$则“ $c=-1$”是“函数 $f(x)$在$R$上递增”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

1. 验证充分性，即当 $c = -1$ 时，判断函数 $f(x)$ 是否在 $\mathbb{R}$ 上单调递增

当 $c = -1$ 时，函数为 $f(x) = \begin{cases} \log_2 x, & x \ge 1 \\ x - 1, & x < 1 \end{cases}$
对于 $x \ge 1$，$f(x) = \log_2 x$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递增，其最小值为 $f(1) = 0$；
对于 $x < 1$，$f(x) = x - 1$ 在 $(-\infty, 1)$ 上单调递增，其取值范围是 $(-\infty, 0)$；
因为当 $x < 1$ 时 $f(x) < 0$，且当 $x \ge 1$ 时 $f(x) \ge 0$，两段区间无缝衔接且保持递增趋势，所以整个函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
因此，“$c = -1$”是“函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增”的充分条件。

2. 验证必要性，即求函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增时 $c$ 的充要条件

若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，则两段函数分别在各自区间上单调递增，且在分界点 $x=1$ 处满足左侧半开区间趋近的值不超过右侧起点值。

1. 当 $x < 1$ 时，$f(x) = x + c$ 为增函数，符合单调性；
2. 当 $x \ge 1$ 时，$f(x) = \log_2 x$ 为增函数，符合单调性；
3. 在分界点 $x = 1$ 处，需要满足左侧上限不超过右侧下限，即 $\lim_{x \to 1^-} (x + c) \le f(1)$，代入得 $1 + c \le 0$，解得 $c \le -1$。
   因此，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增的充要条件是 $c \le -1$。

3. 综合判断充分性与必要性并得出结论

由以上步骤可知：

1. 当 $c = -1$ 时，必能推出 $c \le -1$（充分性成立）；
2. 反之，当 $c \le -1$ 时，不能推出 $c = -1$（必要性不成立，例如 $c = -2$ 亦可）。
   所以，“$c = -1$”是“函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增”的充分不必要条件。
   故选：A。