已知关于$x$、$y$的方程组$\begin{cases} & x+y=3a+9 \\ & x-y=5a+1 \\ \end{cases}$的解为正数。求$a$的取值范围。

1. 用含 $a$ 的代数式表示方程组的解 $x$ 和 $y$

已知方程组：
$\begin{cases} x+y=3a+9 \quad ① \\ x-y=5a+1 \quad ② \end{cases}$
① + ② 得：
$2x = (3a+9) + (5a+1)$
$2x = 8a + 10$
$x = 4a + 5$

① - ② 得：
$2y = (3a+9) - (5a+1)$
$2y = -2a + 8$
$y = -a + 4$

所以方程组的解为：
\begin{cases} x = 4a+5 \\ y = -a+4 \\end{cases}

2. 根据解为正数这一条件建立关于 $a$ 的不等式组

因为关于 $x$、$y$ 的方程组的解为正数，所以有：
\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \\end{cases}
即：
\begin{cases} 4a+5 > 0 \quad ③ \\ -a+4 > 0 \quad ④ \\end{cases}

3. 求解不等式组，确定 $a$ 的取值范围

解不等式 ③ 得：
$a > -\dfrac{5}{4}$
解不等式 ④ 得：
$a < 4$

求这两个不等式解集的公共部分，得：
$- \dfrac{5}{4} < a < 4$

所以 $a$ 的取值范围是 $- \dfrac{5}{4} < a < 4$。