The roots of the quadratic equation $2x^2 - 6x + k = 0$ are $\alpha$ and $\beta$, where $k$ is a constant. Given that $\alpha^2 + \beta^2 = 13$, find the value of $k$.

1. 利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积

对于一元二次方程 $2x^2 - 6x + k = 0$，由根与系数的关系（韦达定理）可得：
$\alpha + \beta = -\frac{-6}{2} = 3$
$\alpha\beta = \frac{k}{2}$

2. 利用代数恒等式变形并解出未知数 $k$

由完全平方公式，将 $\alpha^2 + \beta^2$ 改写为：
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
将已知条件 $\alpha^2 + \beta^2 = 13$ 及第 1 步的结果代入上式：
$13 = 3^2 - 2\left(\frac{k}{2}\right)$
$13 = 9 - k$
$k = 9 - 13 = -4$