下列计算正确的是$(\quad)$

A. $a\boldsymbol{⋅}a^{2}=a^{2}$

B. $(a^{2})^{3}=a^{5}$

C. $a+a^{2}=a^{3}$

D. $(ab^{2})^{2}=a^{2}b^{4}$

1. 验证选项A是否正确

根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
$a \cdot a^{2} = a^{1+2} = a^{3}$
而选项A中计算结果为 $a^{2}$，故A错误。

2. 验证选项B是否正确

根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘：
$(a^{2})^{3} = a^{2 \times 3} = a^{6}$
而选项B中计算结果为 $a^{5}$，故B错误。

3. 验证选项C是否正确

$a$ 与 $a^{2}$ 所含相同字母的指数不同，不是同类项，因此不能合并。故C错误。

4. 验证选项D是否正确

根据积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，同时结合幂的乘方法则：
$(ab^{2})^{2} = a^{2} \cdot (b^{2})^{2} = a^{2}b^{4}$
计算结果正确，故D正确。