把一个半径为$2$的圆分成三个扇形，使它们的圆心角的度数之比为$1:3:5.(1)$求这三个扇形的圆心角的度数. (2)求这三个扇形的面积$($结果保留$\pi).$

1. 确定三个圆心角之和为 $360^{\circ}$ 并且计算总份数

一个周角的度数为 $360^{\circ}$，因此这三个扇形的圆心角之和为 $360^{\circ}$。
三个圆心角的度数之比为 $1:3:5$，总份数为 $1 + 3 + 5 = 9$ 份。

2. 按比例分配求出三个圆心角的度数

根据比例分配计算每个圆心角的度数：
第一个圆心角的度数为：$360^{\circ} \times \dfrac{1}{9} = 40^{\circ}$
第二个圆心角的度数为：$360^{\circ} \times \dfrac{3}{9} = 120^{\circ}$
第三个圆心角的度数为：$360^{\circ} \times \dfrac{5}{9} = 200^{\circ}$

1. 求出整个圆的面积

已知圆的半径为 $R = 2$，根据圆的面积公式可得圆的总面积为：
$S = \pi R^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi$

2. 根据（1）中求出的圆心角的度数计算这三个扇形的面积

利用扇形面积公式 $S_{\text{扇形}} = \dfrac{n}{360} \pi R^2$ 进行计算：
第一个扇形的面积为：
$S_1 = \dfrac{40}{360} \times 4\pi = \dfrac{4}{9}\pi$
第二个扇形的面积为：
$S_2 = \dfrac{120}{360} \times 4\pi = \dfrac{4}{3}\pi$
第三个扇形的面积为：
$S_3 = \dfrac{200}{360} \times 4\pi = \dfrac{20}{9}\pi$