已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=1$，$f(x-1)-f(x)=-2x-1.(1)$求二次函数$f(x)$的解析式$;(2)$若对于任意$x\in[1,2]$，都有$f(x)< m+x+1$成立，求$m$的取值范围.

1. 设出二次函数的待定系数解析式并求常数项 $c$

设二次函数为 $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$).
由 $f(0) = 1$，代入得 $c = 1$，
所以 $f(x) = ax^2 + bx + 1$.

2. 代入递推关系式，展开并整理成关于 $x$ 的恒等式

因为 $f(x-1) - f(x) = -2x - 1$，
所以 $[a(x-1)^2 + b(x-1) + 1] - (ax^2 + bx + 1) = -2x - 1$，
展开整理得：
$a(x^2 - 2x + 1) + bx - b + 1 - ax^2 - bx - 1 = -2x - 1$
即 $-2ax + a - b = -2x - 1$.

3. 利用系数对应相等，解出 $a$ 和 $b$，从而确定解析式

根据多项式恒等，对应系数相等得：
$\begin{cases} -2a = -2 \\ a - b = -1 \end{cases}$
解得 $a = 1$，$b = 2$.
所以，二次函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x) = x^2 + 2x + 1$.

1. 将恒成立不等式进行参变分离

由 (1) 知 $f(x) = x^2 + 2x + 1$.
若对于任意 $x \in [1,2]$，都有 $f(x) < m+x+1$ 成立，
即 $x^2 + 2x + 1 < m + x + 1$ 恒成立，
变形得 $m > x^2 + x$ 对任意 $x \in [1,2]$ 恒成立.

2. 构造新函数并分析其在闭区间上的单调性

令 $g(x) = x^2 + x$，
其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线 $x = -\dfrac{1}{2}$.
因为 $-\dfrac{1}{2} < 1$，
所以函数 $g(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上单调递增.

3. 求出新函数在闭区间上的最大值，进而得到 $m$ 的取值范围

因此，当 $x \in [1,2]$ 时，$g(x)$ 的最大值为 $g(2) = 2^2 + 2 = 6$.
若 $m > g(x)$ 恒成立，则只需 $m > g(x)_{\max}$，
即 $m > 6$.
所以 $m$ 的取值范围是 $(6, +\infty)$.