已知定义在$R$上的奇函数$f(x)$在$(-∞,0]$上单调递减若$f(-2)=1$，则满足$|f(2x)|\leqslant 1$的$x$的取值范围是$(\quad)$

A. $[-1,1]$

B. $[-2,2]$

C. $(-∞,-1]∪[1,+∞)$

D. $(-∞,-2]∪[2,+∞)$

1. 利用奇函数性质求得 $f(2)$ 的值

因为定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 是奇函数，且 $f(-2) = 1$，
所以 $f(2) = -f(-2) = -1$。

2. 判断 $f(x)$ 在整个定义域 $\mathbb{R}$ 上的单调性

因为奇函数在对称区间上的单调性相同，且 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上单调递减，
所以 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上也单调递减。又 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，
因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是单调递减函数。

3. 转化绝对值不等式并利用单调性求解 $x$ 的范围

由 $|f(2x)| \leqslant 1$ 可得 $-1 \leqslant f(2x) \leqslant 1$。
代入已知的函数值，得 $f(2) \leqslant f(2x) \leqslant f(-2)$。
由于 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，
所以 $-2 \leqslant 2x \leqslant 2$，
解得 $-1 \leqslant x \leqslant 1$。
因此，$x$ 的取值范围是 $[-1, 1]$，对应选项 A。