已知19x=99…9（等号右边为n个9），x是自然数，则n的最小值是 ．

1. 将整除问题转化为同余方程

已知 $19x = \underbrace{99\cdots9}_{n\text{个}}$，其中 $x$ 是自然数，也就是说，由 $n$ 个 $9$ 组成的数能够被 $19$ 整除。
由于 $99\cdots9 = 10^n - 1$，且 $\gcd(9, 19) = 1$，故 $9(10^n - 1)$ 能被 $19$ 整除等价于 $10^n - 1$ 能被 $19$ 整除。
因此，问题转化为求最小的正整数 $n$，使得：
$10^n \equiv 1 \pmod{19}$

2. 利用数论性质（费马小定理）缩小 $n$ 的范围

因为 $19$ 是质数，且 $\gcd(10, 19) = 1$，由费马小定理可得：
$10^{18} \equiv 1 \pmod{19}$
根据同余的性质，使 $10^n \equiv 1 \pmod{19}$ 成立的最小正整数 $n$（即 $10$ 模 $19$ 的阶）必须是 $18$ 的正因数。
$18$ 的正因数有：$1, 2, 3, 6, 9, 18$。

3. 通过检验确定最小的 $n$ 值

依次检验 $18$ 的小于 $18$ 的因数：

• 当 $n=1$ 时，$10^1 = 10 \not\equiv 1 \pmod{19}$；
• 当 $n=2$ 时，$10^2 = 100 \equiv 5 \not\equiv 1 \pmod{19}$；
• 当 $n=3$ 时，$10^3 = 10 \times 10^2 \equiv 10 \times 5 = 50 \equiv 12 \not\equiv 1 \pmod{19}$；
• 当 $n=6$ 时，$10^6 = (10^3)^2 \equiv 12^2 = 144 \equiv 11 \not\equiv 1 \pmod{19}$；
• 当 $n=9$ 时，$10^9 = 10^6 \times 10^3 \equiv 11 \times 12 = 132 \equiv 18 \equiv -1 \not\equiv 1 \pmod{19}$。
  由于以上较小的因数均不满足条件，故最小的满足条件的正整数 $n = 18$。