请写出满足下列两个条件的一个函数:①此函数为偶函数;②在(0,+∞)(0,+{\rm∞})上为减函数,则f(x)=f(x)=___.

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完整解法

1. 分析所求函数需要满足的性质

根据题意,所求函数 f(x)f(x) 需满足:
① 偶函数:其定义域关于原点对称,且满足 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x);
② 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上为单调递减函数。

2. 构造符合条件的具体初等函数并验证

我们可以联想常见的初等函数。
考虑二次函数 f(x)=−x2f(x) = -x^2:

  1. 其定义域为 R\mathbb{R},关于原点对称,且 f(−x)=−(−x)2=−x2=f(x)f(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = f(x),故为偶函数,满足条件①;
  2. 当 x>0x > 0 时,其图象为开口向下、对称轴为 yy 轴的抛物线的右侧部分,显然在 (0,+∞)(0, +\infty) 上单调递减,满足条件②。
    因此,f(x)=−x2f(x) = -x^2 是一个符合条件的函数。(注:满足条件的函数不唯一,如 f(x)=−∣x∣f(x) = -|x|,f(x)=1x2f(x) = \frac{1}{x^2} 亦可)
答案

-x^2

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