对于椭圆x24+y23=1\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1,下面说法正确的是()(\quad)
A. 长轴长为22
B. 短轴长为33
C. 焦距为11
D. 离心率为12\dfrac{1}{2}

先不看答案,让 AI 诊断你卡在哪里?

它不会直接告诉你答案,而是问你卡在哪一步看看 AI 是怎么陪你一步步弄懂这道题的

完整解法

1. 确定椭圆方程中的基本参数 $a$ 和 $b$

由椭圆方程 x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 可知,这是一个焦点在 xx 轴上的标准椭圆,其中:
a2=4  ⟹  a=2a^2 = 4 \implies a = 2
b2=3  ⟹  b=3b^2 = 3 \implies b = \sqrt{3}

2. 计算半焦距 $c$

利用椭圆中 a,b,ca, b, c 的关系 c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2,可得:
c2=4−3=1  ⟹  c=1c^2 = 4 - 3 = 1 \implies c = 1

3. 计算椭圆的各项几何性质并验证选项

根据椭圆的几何性质分别计算:

  • 长轴长为 2a=2×2=42a = 2 \times 2 = 4(选项 A 错误);
  • 短轴长为 2b=232b = 2\sqrt{3}(选项 B 错误);
  • 焦距为 2c=2×1=22c = 2 \times 1 = 2(选项 C 错误);
  • 离心率为 e=ca=12e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}(选项 D 正确)。

因此,正确的说法是 D。

答案

D

AI 分析,可能出错

用 AI 批改,圈出写错的那一步,并自动将你的薄弱点存入错题本,形成你的错因库。

同一知识点的其他题

  1. 1过双曲线CC:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}} =1(a > 0 , b > 0)的左焦点FF且斜率为12 \dfrac {1}{2}的直线ll与双曲线…
  2. 2如图,两个椭圆x225+y29=1\dfrac{{x}^{2}}{25}+ \dfrac{{y}^{2}}{9}=1、y225+x29=1\dfrac{{y}^{2}}{25}+ \dfrac{{x}^{2}}{9}=1内部重叠区域的边界记为曲线CC…
  3. 3若点AA的坐标是(4,2)(4,2),FF是抛物线y2=2xy^{2}=2x的焦点,点PP在抛物线上移动,为使得∣PA∣+∣PF∣|PA|+|PF|取得最小值,则PP点的坐标是()() A. (1,2)(1,2) B. (2,1)(2,1)…
  4. 4已知三个实数22,mm,88构成一个等比数列,则圆锥曲线x2m+y22=1 \dfrac {x^{2}}{m}+ \dfrac {y^{2}}{2}=1的离心率为()() A. 22 \dfrac { \sqrt {2}}{2}…
  5. 5已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0) \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0),F1F_{1}和F2F_{2}是椭圆的左、右焦点,过F1F_{1}的直线交椭圆于A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})…