已知$a^{2}-3a+1=0$，求下列各式的值： $(1)2a^{2}-6a-3$； $(2)a^{2}+a^{-2}$； $(3)a-a^{-1}$．

1. 变形已知等式，得到 $a^2-3a$ 的值

由已知 $a^{2}-3a+1=0$，移项可得：
$a^{2}-3a=-1$

2. 将待求代数式变形并整体代入求解

$2a^{2}-6a-3=2(a^{2}-3a)-3$
将 $a^{2}-3a=-1$ 代入上式，得：
$2a^{2}-6a-3=2\times(-1)-3=-5$

1. 在已知等式两边同除以 $a$，求得 $a+a^{-1}$ 的值

因为 $a^2-3a+1=0$，若 $a=0$，则左边为 $1 \neq 0$，所以 $a \neq 0$。
在等式 $a^{2}-3a+1=0$ 两边同时除以 $a$，得：
$a-3+a^{-1}=0$
即：
$a+a^{-1}=3$

2. 利用完全平方公式将 $a^2+a^{-2}$ 变形并求值

根据完全平方公式可得：
$a^{2}+a^{-2}=(a+a^{-1})^{2}-2$
将 $a+a^{-1}=3$ 代入，得：
$a^{2}+a^{-2}=3^{2}-2=7$

1. 利用 $(a-a^{-1})^2$ 与 $(a+a^{-1})^2$ 的关系进行变形

由第 (2) 问可知 $a+a^{-1}=3$。
利用完全平方公式，有：
$(a-a^{-1})^{2}=(a+a^{-1})^{2}-4$

2. 代入数值并开方求解 $a-a^{-1}$ 的值

将 $a+a^{-1}=3$ 代入上式，得：
$(a-a^{-1})^{2}=3^{2}-4=5$
进行开方，可得：
$a-a^{-1}=\pm\sqrt{5}$