已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (x, -1)$。若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 为钝角，求实数 $x$ 的取值范围。

1. 根据向量数量积与夹角的关系列出不等式并求解

由已知向量坐标 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (x, -1)$，计算数量积：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot x + 2 \cdot (-1) = x - 2$
若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 为钝角，则必有 $\cos \theta < 0$，即：
$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$
代入得 $x - 2 < 0$，解得 $x < 2$。

2. 排除向量反向共线（夹角为平角）的情形

当 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相反时，夹角 $\theta = 180^\circ$（平角），不属于钝角。
此时 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向共线，存在实数 $k < 0$，使得：
$\vec{b} = k\vec{a} \implies (x, -1) = (k, 2k)$
由 $2k = -1$ 得 $k = -\frac{1}{2}$，此时 $x = -\frac{1}{2}$。
因此，必须排除 $x = -\frac{1}{2}$。

3. 综合得出实数 $x$ 的取值范围

综合上述条件，实数 $x$ 的取值范围为：
$x < 2 \text{ 且 } x \neq -\frac{1}{2}$
用区间表示为 $\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$。