已知集合 $A = \{x \mid -1 \leqslant x \leqslant 3\}$，集合 $B = \{x \mid m+1 \leqslant x \leqslant 2m-1\}$．若 $B \subseteq A$，求实数 $m$ 的取值范围．

1. 讨论集合 $B$ 为空集时 $m$ 的取值范围

当 $B = \varnothing$ 时，需满足左端点大于右端点：
$m+1 > 2m-1$
解得 $m < 2$．
由于空集是任何集合的子集，故当 $m < 2$ 时，$B \subseteq A$ 恒成立．

2. 讨论集合 $B$ 为非空集时 $m$ 的取值范围

当 $B \neq \varnothing$ 时，需满足 $m+1 \leqslant 2m-1$，即 $m \geqslant 2$．
要使 $B \subseteq A = [-1, 3]$，结合端点限制可得：
$\begin{cases} m+1 \geqslant -1 \\ 2m-1 \leqslant 3 \end{cases}$
解此不等式组可得：
$\begin{cases} m \geqslant -2 \\ m \leqslant 2 \end{cases}$
即 $-2 \leqslant m \leqslant 2$．
结合条件 $m \geqslant 2$，解得 $m = 2$．

3. 综合两种情况得出实数 $m$ 的最终取值范围

综上所述，取 $m < 2$ 与 $m = 2$ 的并集，得实数 $m$ 的取值范围为 $m \leqslant 2$（或表示为 $(-\infty, 2]$）．