△ABC\triangle ABC的三个顶点分别为AA,BB,CC,给出下列条件:①∠A+∠B=∠C∠A+∠B=∠C;②∠A∠A:∠B∠B:∠C=2∠C=2:33:55;③∠A=90°∠A=90°;④∠A=∠B=∠C∠A=∠B=∠C,其中能确定△ABC\triangle ABC是直角三角形的条件有(    )(\:\:\:\:)
A. 11个
B. 22个
C. 33个
D. 44个

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完整解法

1. 分析条件①是否能确定直角三角形

根据三角形内角和定理,在△ABC\triangle ABC中,有∠A+∠B+∠C=180°∠A+∠B+∠C=180°。
因为∠A+∠B=∠C∠A+∠B=∠C,所以代入上式得:
∠C+∠C=180°∠C+∠C=180°
2∠C=180°2∠C=180°
解得∠C=90°∠C=90°。
所以△ABC\triangle ABC是直角三角形,条件①符合题意。

2. 分析条件②是否能确定直角三角形

因为∠A∠A:∠B∠B:∠C=2∠C=2:33:55,设∠A=2x°∠A=2x°,∠B=3x°∠B=3x°,∠C=5x°∠C=5x°。
根据三角形内角和定理,有:
2x+3x+5x=1802x+3x+5x=180
10x=18010x=180
解得 x=18x=18。
所以最大的内角 ∠C=5×18°=90°∠C=5 \times 18°=90°。
所以△ABC\triangle ABC是直角三角形,条件②符合题意。

3. 分析条件③和④,得出最终结论

对于条件③,∠A=90°∠A=90°,根据定义,有一个角是直角(即90°90°)的三角形是直角三角形,条件③符合题意;
对于条件④,∠A=∠B=∠C∠A=∠B=∠C,因为内角和为180°180°,所以三个角都等于60°60°,它是等边三角形,不符合题意。
综上所述,能确定△ABC\triangle ABC是直角三角形的条件有①②③共3个。
故选:C。

答案

C

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