如图，抛物线 $y=x^2+bx+c$ 交 $x$ 轴于 $A$、$B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$．直线 $y=x-3$ 经过点 $B$、$C$．

1. 求点 $B$ 和点 $C$ 的坐标

对于直线 $y = x - 3$：
当 $x = 0$ 时，$y = -3$，故点 $C$ 的坐标为 $(0, -3)$；
当 $y = 0$ 时，$x - 3 = 0$，解得 $x = 3$，故点 $B$ 的坐标为 $(3, 0)$．

2. 代入坐标求抛物线的解析式

将 $B(3, 0)$ 和 $C(0, -3)$ 代入抛物线 $y = x^2 + bx + c$ 得：
$\begin{cases} 9 + 3b + c = 0 \\ c = -3 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} b = -2 \\ c = -3 \end{cases}$
因此，抛物线的解析式为 $y = x^2 - 2x - 3$．

1. 用含 $m$ 的代数式表示点 $P$、$D$ 的坐标及线段 $PD$ 的长

由题意，点 $P$ 在直线 $BC$ 下方的抛物线上，且横坐标为 $m$，易知 $0 < m < 3$．
则点 $P$ 的坐标为 $(m, m^2 - 2m - 3)$．
因为 $PF \perp x$ 轴交直线 $BC$ 于点 $D$，所以点 $D$ 的横坐标也为 $m$，其坐标为 $(m, m - 3)$．
故线段 $PD$ 的长为：
$PD = y_D - y_P = (m - 3) - (m^2 - 2m - 3) = -m^2 + 3m = m(3 - m)$

2. 分析 $\Delta PED$ 的形状并求其面积

直线 $BC$ 的解析式为 $y = x - 3$，其斜率为 $1$，因而直线 $BC$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $45^\circ$．
又因为 $PD \parallel y$ 轴，所以直线 $PD$ 与直线 $BC$ 的夹角 $\angle PDE = 45^\circ$．
已知 $PE \perp BC$ 于点 $E$，所以在 $\text{Rt}\Delta PED$ 中，$\angle PED = 90^\circ$ 且 $\angle PDE = 45^\circ$．
因此 $\Delta PED$ 是等腰直角三角形，得：
$PE = ED = \frac{\sqrt{2}}{2} PD$
其面积为：
$S_{\Delta PED} = \frac{1}{2} PE \cdot ED = \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} PD\right)^2 = \frac{1}{4} PD^2 = \frac{1}{4} [m(3 - m)]^2$

3. 求 $\Delta PDB$ 的面积及两三角形面积的比值

以 $PD$ 为底，则点 $B(3, 0)$ 到直线 $PD$（即直线 $x = m$）的距离即为高，其值为 $x_B - x_D = 3 - m$．
故 $\Delta PDB$ 的面积为：
$S_{\Delta PDB} = \frac{1}{2} PD \cdot (3 - m) = \frac{1}{2} m(3 - m) \cdot (3 - m) = \frac{1}{2} m(3 - m)^2$
因此，两三角形的面积比为：
$\frac{S_{\Delta PED}}{S_{\Delta PDB}} = \frac{\frac{1}{4} m^2 (3 - m)^2}{\frac{1}{2} m (3 - m)^2} = \frac{m}{2}$

4. 分类讨论面积比为 $4:5$ 建立方程并求解 $m$

线段 $PD$ 把 $\Delta PEB$ 分成的两个三角形为 $\Delta PED$ 和 $\Delta PDB$，其面积比为 $4:5$，需分两种情况讨论：
① 若 $\dfrac{S_{\Delta PED}}{S_{\Delta PDB}} = \dfrac{4}{5}$，则：
$\frac{m}{2} = \frac{4}{5} \implies m = \frac{8}{5}$
经检验，$m = \dfrac{8}{5} \in (0, 3)$，符合题意；

② 若 $\dfrac{S_{\Delta PDB}}{S_{\Delta PED}} = \dfrac{4}{5}$，即 $\dfrac{S_{\Delta PED}}{S_{\Delta PDB}} = \dfrac{5}{4}$，则：
$\frac{m}{2} = \frac{5}{4} \implies m = \frac{5}{2}$
经检验，$m = \dfrac{5}{2} \in (0, 3)$，符合题意．

综上所述，$m$ 的值为 $\dfrac{8}{5}$ 或 $\dfrac{5}{2}$．