方程x222−m+y26+m=1 \dfrac {x^{2}}{22-m} + \dfrac {y^{2}}{6+m} =1表示焦点在yy轴上的椭圆,则mm的取值范围是___.

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完整解法

1. 根据椭圆焦点在 $y$ 轴上的条件建立不等式组

已知方程 x222−m+y26+m=1\dfrac{x^{2}}{22-m} + \dfrac{y^{2}}{6+m} = 1 表示焦点在 yy 轴上的椭圆。
根据椭圆标准方程 x2b2+y2a2=1\dfrac{x^2}{b^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 焦点在 yy 轴上的特征,需要满足 y2y^2 分母大于 x2x^2 分母,且两分母均大于 00。
由此列出不等式组:
{22−m>06+m>06+m>22−m\begin{cases} 22-m > 0 \\ 6+m > 0 \\ 6+m > 22-m \end{cases}

2. 解不等式组确定参数 $m$ 的取值范围

依次求解不等式组中的各个不等式:

  1. 由 22−m>022-m > 0 得 m<22m < 22;
  2. 由 6+m>06+m > 0 得 m>−6m > -6;
  3. 由 6+m>22−m6+m > 22-m 移项合并同类项得 2m>162m > 16,解得 m>8m > 8。

取上述三个不等式解集的公共部分,可得 8<m<228 < m < 22。

答案

8<m<228 < m < 22

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