已知函数$f(x)=ax^{2}+bx+c$，其中$a∈N^{*}$，$b∈N$，$c∈Z$． (1) 若$b > 2a$，且$f(\sin x)(x∈R)$的最大值为$2$，最小值为$-4$，试求函数$f(x)$的最小值$;(2)$ 对于(1)中的$f(x)$，若对任意的$m∈[-4,1]$，恒有$f(x)\geqslant 2x^{2}-mx-14$，求$x$的取值范围．

1. 确定 $f(\sin x)$ 中自变量的范围以及二次函数的单调性

因为 $b > 2a$，且 $a \in \mathbb{N}^*$，所以对称轴 $x = -\frac{b}{2a} < -1$．
设 $t = \sin x$，因为 $x \in \mathbb{R}$，所以 $t \in [-1, 1]$．
由于 $a > 0$，二次函数 $f(t) = at^2 + bt + c$ 的图象开口向上，其对称轴在区间 $[-1, 1]$ 的左侧，
因此 $f(t)$ 在区间 $[-1, 1]$ 上单调递增．

2. 列出关于系数 $a, b, c$ 的方程组

由于 $f(t)$ 在 $[-1, 1]$ 上单调递增，故：
当 $t = -1$ 时，函数取得最小值，即 $f(-1) = a - b + c = -4$ ①；
当 $t = 1$ 时，函数取得最大值，即 $f(1) = a + b + c = 2$ ②．

3. 求解系数 $a, b, c$ 并写出函数解析式

② - ① 得 $2b = 6$，解得 $b = 3$．
由 $b > 2a$ 得 $3 > 2a$，即 $a < 1.5$．
因为 $a \in \mathbb{N}^*$，所以 $a = 1$．
将 $a=1, b=3$ 代入②得 $1 + 3 + c = 2$，解得 $c = -2$．
所以 $f(x) = x^2 + 3x - 2$．

4. 计算 $f(x)$ 在实数集上的最小值

函数 $f(x) = x^2 + 3x - 2$ 的对称轴为 $x = -\frac{3}{2}$，
所以当 $x = -\frac{3}{2}$ 时，函数 $f(x)$ 取得最小值：
$f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) - 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 2 = -\frac{17}{4}$．

1. 转化恒成立不等式为一次函数区间最值问题

由(1)知 $f(x) = x^2 + 3x - 2$．
不等式 $f(x) \geqslant 2x^2 - mx - 14$ 恒成立，即：
$x^2 + 3x - 2 \geqslant 2x^2 - mx - 14 \iff x^2 - (m+3)x - 12 \leqslant 0$ 对任意 $m \in [-4, 1]$ 恒成立．
令 $g(m) = x^2 - (m+3)x - 12$，关于 $m$ 为一次函数．
要使 $g(m) \leqslant 0$ 在 $m \in [-4, 1]$ 上恒成立，只需区间端点值均不大于0，即：
$\begin{cases} g(-4) \leqslant 0 \\ g(1) \leqslant 0 \end{cases}$

2. 解不等式组求 $x$ 的取值范围

代入端点值：
$g(-4) = x^2 - (-4+3)x - 12 = x^2 + x - 12 \leqslant 0 \iff (x+4)(x-3) \leqslant 0 \iff -4 \leqslant x \leqslant 3$；
$g(1) = x^2 - (1+3)x - 12 = x^2 - 4x - 12 \leqslant 0 \iff (x-6)(x+2) \leqslant 0 \iff -2 \leqslant x \leqslant 6$．
联立两个范围：
$\begin{cases} -4 \leqslant x \leqslant 3 \\ -2 \leqslant x \leqslant 6 \end{cases}$，解得 $-2 \leqslant x \leqslant 3$．
所以 $x$ 的取值范围为 $[-2, 3]$．