The roots of the quadratic equation $x^2 + kx + 18 = 0$ are $\alpha$ and $\beta$, where $k$ is a constant. Given that $\alpha = 2\beta$, find the possible values of $k$.

1. 利用根与系数的关系（韦达定理）列出两根之和与两根之积的方程

对于二次方程 $x^2 + kx + 18 = 0$，根据根与系数的关系：
$\alpha + \beta = -k$
$\alpha \beta = 18$
已知 $\alpha = 2\beta$，将其代入上述两式，得：
$2\beta + \beta = 3\beta = -k \quad \text{--- (1)}$
$(2\beta) \cdot \beta = 2\beta^2 = 18 \quad \text{--- (2)}$

2. 求解方程得到 $\beta$ 的值，进而求出 $k$ 的所有可能值

由方程 (2) 解出 $\beta$：
$2\beta^2 = 18 \implies \beta^2 = 9 \implies \beta = 3 \text{ 或 } \beta = -3$
由方程 (1) 可知 $k = -3\beta$：

• 当 $\beta = 3$ 时，$k = -3(3) = -9$；
• 当 $\beta = -3$ 时，$k = -3(-3) = 9$。

因此，$k$ 的可能值为 $9$ 或 $-9$。