$P$为圆$A:(x+2)^{2}+y^{2}=36$上一动点，点$B$的坐标为$(2,0)$，线段$PB$的垂直平分线交直线$AP$于点$Q$，记点$Q$的轨迹为曲线$C.(1)$求$C$的方程$;(2)$记(1)中曲线$C$与$x$轴的左右两个交点分别为$A_{1}$和$A_{2}$，$M$，$N$为曲线$C$上异于$A_{1}$，$A_{2}$的两点，直线$MN$不过坐标原点，且不与坐标轴平行.点$M$关于原点$O$的对称点为$S$，若直线$A_{1}S$与直线$A_{2}N$相交于点$T$，直线$OT$与直线$MN$相交于点$R.$证明：在曲线$C$上存在定点$E$，使得$\triangle RBE$的面积为定值，并求该定值.

1. 分析垂直平分线和圆的关系，利用椭圆定义确定轨迹

因为线段 $PB$ 的垂直平分线交直线 $AP$ 于点 $Q$，所以 $|QB|=|QP|$.
因为点 $P$ 在圆 $A: (x+2)^2+y^2=36$ 上，圆心为 $A(-2,0)$，半径为 $R=6$.
所以 $|AQ|+|QP|=|AP|=6$.
从而 $|AQ|+|QB|=6 > |AB|=4$.
根据椭圆的定义，点 $Q$ 的轨迹是以 $A, B$ 为焦点的椭圆，其中 $2a=6, 2c=4$.

2. 求解椭圆的标准方程

由上步可知 $a=3, c=2$.
则 $b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 4 = 5$.
所以曲线 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1$.

1. 设直线 $MN$ 方程并与椭圆方程联立，写出根与系数的关系

由 (1) 知 $A_1(-3,0), A_2(3,0)$.
设 $M(x_1, y_1), N(x_2, y_2)$，则 $S(-x_1, -y_1)$.
依题意，设直线 $MN$ 的方程为 $x=my+n$ ($m \neq 0, n \neq 0$).
联立直线与椭圆方程：
$\begin{cases} x = my + n \\ \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1 \end{cases}$
消去 $x$ 得 $(5m^2+9)y^2 + 10mny + 5n^2 - 45 = 0$.
由已知 $\Delta > 0$, 且有：
$y_1 + y_2 = -\dfrac{10mn}{5m^2+9}$, $y_1 y_2 = \dfrac{5(n^2-9)}{5m^2+9}$.

2. 利用三点共线列出点 $T$ 的坐标关系，求解 $OT$ 的斜率

设 $T(x_0, y_0)$. 因为 $T, S, A_1$ 三点共线，
所以 $\dfrac{y_0}{x_0+3} = \dfrac{-y_1 - 0}{-x_1 - (-3)} = \dfrac{y_1}{x_1-3} \implies \dfrac{x_0+3}{y_0} = \dfrac{x_1-3}{y_1}$.
因为 $T, N, A_2$ 三点共线，
所以 $\dfrac{y_0}{x_0-3} = \dfrac{y_2}{x_2-3} \implies \dfrac{x_0-3}{y_0} = \dfrac{x_2-3}{y_2}$.
两式相加得：
$\dfrac{2x_0}{y_0} = \dfrac{x_1-3}{y_1} + \dfrac{x_2-3}{y_2} = \dfrac{my_1+n-3}{y_1} + \dfrac{my_2+n-3}{y_2} = 2m + (n-3)\left(\dfrac{1}{y_1} + \dfrac{1}{y_2}\right)$
$= 2m + (n-3)\dfrac{y_1+y_2}{y_1 y_2} = 2m + (n-3) \cdot \left( -\dfrac{10mn}{5(n^2-9)} \right) = 2m - \dfrac{2mn}{n+3} = \dfrac{6m}{n+3}$
所以直线 $OT$ 的斜率为 $k_{OT} = \dfrac{y_0}{x_0} = \dfrac{n+3}{3m}$.
因此，直线 $OT$ 的方程为 $y = \dfrac{n+3}{3m}x$.

3. 求出直线 $OT$ 与 $MN$ 的交点 $R$ 的坐标，证明其在定直线上

联立直线 $OT$ 与直线 $MN$ 的方程：
$\begin{cases} y = \dfrac{n+3}{3m}x \\ x = my + n \end{cases}$
代入消元得 $x = m \left(\dfrac{n+3}{3m}x\right) + n \implies 3x = (n+3)x + 3n \implies nx = -3n$.
因为直线 $MN$ 不过原点，所以 $n \neq 0$，从而得 $x = -3$.
所以，交点 $R$ 恒在定直线 $l: x = -3$ 上.

4. 寻找定点 $E$ 使 $\triangle RBE$ 的面积为定值，并计算定值

要使 $\triangle RBE$ 的面积为定值，其中 $B(2,0)$，且点 $R$ 在定直线 $x = -3$ 上运动。
选择 $E$ 为椭圆上满足 $x_E = 2$ 的点，此时 $BE \perp x$ 轴。
由于 $BE$ 平行于定直线 $x = -3$，$\triangle RBE$ 以 $BE$ 为底时，高为 $B$ 到直线 $x = -3$ 的距离，即 $d = 2 - (-3) = 5$（恒定）。
将 $x_E = 2$ 代入椭圆方程 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1$ 得：
$\dfrac{4}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1 \implies y^2 = \dfrac{25}{9} \implies y = \pm \dfrac{5}{3}$.
取 $E\left(2, \dfrac{5}{3}\right)$ 或 $E\left(2, -\dfrac{5}{3}\right)$，则底边长 $|BE| = \dfrac{5}{3}$，
此时 $\triangle RBE$ 的面积为：
$S_{\triangle RBE} = \dfrac{1}{2} \cdot |BE| \cdot d = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{3} \times 5 = \dfrac{25}{6}$.
故在曲线 $C$ 上存在定点 $E\left(2, \pm \dfrac{5}{3}\right)$，使得 $\triangle RBE$ 的面积为定值 $\dfrac{25}{6}$.