某县有着丰富的毛竹资源，某企业已收购毛竹$52.5$吨．根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利$100$元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工$8$吨，每吨可获利$1\:000$元；如果进行精加工，每天可加工$0.5$吨，每吨可获利$5\:000$元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月$(30$天$)$内将这批毛竹全部售出。为此，研究了两种方案： 方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利___元． 方案二：$30$天的时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹．在市场上直接销售，则可获利___元． 是否存在第三种方案．将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，且恰好在$30$天内完成$?$若存在，求销售后所获的利润；若不存在．请说明理由．

1. 计算方案一全部粗加工的获利

粗加工每天可加工 $8$ 吨，毛竹总量为 $52.5$ 吨。
加工这批毛竹所需时间为 $52.5 \div 8 = 6.5625$ 天，小于 $30$ 天，可以在一个月内全部完成粗加工。
全部粗加工后销售可获利：
$52.5 \times 1000 = 52500\text{（元）}$

2. 计算方案二部分精加工、剩余直接销售的获利

$30$ 天内可精加工的毛竹量为：
$30 \times 0.5 = 15\text{（吨）}$
剩余未加工直接销售的毛竹量为：
$52.5 - 15 = 37.5\text{（吨）}$
方案二可获利：
$15 \times 5000 + 37.5 \times 100 = 75000 + 3750 = 78750\text{（元）}$

1. 根据题目中的数量关系列出二元一次方程组

设进行精加工的天数为 $x$ 天，进行粗加工的天数为 $y$ 天。
根据题意，恰好在 $30$ 天内加工完所有毛竹（精加工每天 $0.5$ 吨，粗加工每天 $8$ 吨，总重 $52.5$ 吨），可列方程组：
$\begin{cases} x + y = 30 \\ 0.5x + 8y = 52.5 \end{cases}$

2. 解二元一次方程组，并检验解的合理性

由式①得：$x = 30 - y$ ③，
将③代入②得：
$0.5(30 - y) + 8y = 52.5$
$15 - 0.5y + 8y = 52.5$
$7.5y = 37.5$
解得：$y = 5$。
将 $y = 5$ 代入③得：$x = 25$。
所以方程组的解为：
$\begin{cases} x = 25 \\ y = 5 \end{cases}$
由于 $x=25$, $y=5$ 均为非负数且符合实际意义（天数在 $0$ 到 $30$ 之间），因此存在第三种方案。

3. 计算第三种方案可获得的利润

精加工毛竹：$25 \times 0.5 = 12.5$ 吨，获利：$12.5 \times 5000 = 62500$ 元；
粗加工毛竹：$5 \times 8 = 40$ 吨，获利：$40 \times 1000 = 40000$ 元。
总利润为：
$62500 + 40000 = 102500\text{（元）}$
答：存在第三种方案，销售后可获利 $102500$ 元。