先化简，再求值： $\dfrac{x}{{x}^{2}-2x+1}÷( \dfrac{x+1}{{x}^{2}-1}+1)$ ，其中 $x= \sqrt{2}+1 .$

它不会直接告诉你答案，而是问你卡在哪一步看看 AI 是怎么陪你一步步弄懂这道题的

完整解法

1. 化简括号内的分式加法

首先化简括号内的部分：
$\dfrac{x+1}{x^2-1}+1 = \dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}+1 = \dfrac{1}{x-1}+1 = \dfrac{1+x-1}{x-1} = \dfrac{x}{x-1}$

2. 对整个代数式进行因式分解与约分化简

对原式进行除法运算：
$\text{原式} = \dfrac{x}{(x-1)^2} \div \dfrac{x}{x-1} = \dfrac{x}{(x-1)^2} \times \dfrac{x-1}{x} = \dfrac{1}{x-1}$

3. 代入 $x$ 的值计算出最终结果并分母有理化

当 $x = \sqrt{2}+1$ 时，代入化简后的式子：
$\text{原式} = \dfrac{1}{\sqrt{2}+1-1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

答案

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

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