在一张纸上有一圆$C$：$(x+2)^{2}+y^{2}=r(r>0)$与点$M(m,0)(m≠-2)$，折叠纸片，使圆$C$上某一点$M'$恰好与点$M$重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕$PQ$，设折痕$PQ$与直线$M'C$的交点为$T$，则下列说法正确的是$(\quad)$

A. 当$-2-r< m< -2+r$时，点$T$的轨迹为椭圆

B. 当$r=1$，$m=2$时，点$T$的轨迹方程为$x^{2}-\dfrac{y^{2}}{3}=1$

C. 当$m=2$，$1\leqslant r\leqslant 2$时，点$T$的轨迹对应曲线的离心率取值范围为$[2,4]$

D. 当$r=2\sqrt{2}$，$m=2$时，在$T$的轨迹上任取一点$S$，过$S$作直线$y=x$的垂线，垂足为$N$，则$\triangle SON(O$为坐标原点$)$的面积为定值

1. 分析选项A，确定点T的轨迹在特定范围内的类型

由折叠的对称性可知，折痕 $PQ$ 是线段 $M'M$ 的垂直平分线，因此对于折痕 $PQ$ 上的任意一点 $T$，有 $|TM| = |TM'|$。
因为 $T$ 在直线 $M'C$ 上，且当 $-2-r < m < -2+r$ 时，点 $M(m,0)$ 在圆 $C$（圆心为 $C(-2,0)$，半径为 $r$）内部（即距离 $|CM| = |m+2| < r$），
所以点 $T$ 必在线段 $M'C$ 上。
从而有 $|TC| + |TM'| = |CM'| = r$。
代入 $|TM'| = |TM|$ 可得 $|TC| + |TM| = r$。
又因为 $M$ 在圆内，有 $|CM| < r$，即 $|TC| + |TM| = r > |CM|$。
根据椭圆的定义，点 $T$ 的轨迹是以 $C$ 和 $M$ 为焦点的椭圆，故A正确。

2. 分析选项B，求解特定参数下的轨迹方程

当 $r=1, m=2$ 时，点 $M(2,0)$ 在圆 $C$ 外，
此时 $T$ 必在线段 $M'C$ 的延长线或反向延长线上，则 $||TC| - |TM'|| = |CM'| = r = 1$，
由于 $|TM'| = |TM|$，所以 $||TC| - |TM|| = 1$。
又因为此时焦距 $2c = |CM| = |2 - (-2)| = 4 > r = 1$，
根据双曲线的定义，点 $T$ 的轨迹是以 $C(-2,0), M(2,0)$ 为焦点的双曲线，
其实半轴 a = rac{r}{2} = rac{1}{2}，半焦距 $c = 2$，
虚半轴平方 b^2 = c^2 - a^2 = 4 - rac{1}{4} = rac{15}{4}，
所以轨迹方程为 $\dfrac{x^2}{\dfrac{1}{4}} - \dfrac{y^2}{\dfrac{15}{4}} = 1$，即 $4x^2 - \dfrac{4y^2}{15} = 1$。
选项B中轨迹方程错误，故B错误。

3. 分析选项C，确定离心率的取值范围

当 $m=2, 1 \leqslant r \leqslant 2$ 时，由上述分析可知轨迹为双曲线，且半焦距 $c = 2$ 不变，
实半轴为 $a = \frac{r}{2}$，
所以离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{\dfrac{r}{2}} = \dfrac{4}{r}$。
因为 $1 \leqslant r \leqslant 2$，
所以 $2 \leqslant \dfrac{4}{r} \leqslant 4$，即 $e \in [2, 4]$，故C正确。

4. 分析选项D，用坐标法求三角形面积并判断是否为定值

当 $r=2\sqrt{2}, m=2$ 时，轨迹为双曲线，其中 $a = \sqrt{2}$，$c = 2$，
则 $b^2 = c^2 - a^2 = 4 - 2 = 2$。
轨迹方程为 $x^2 - y^2 = 2$。
设轨迹上任一点为 $S(p,q)$，则 $p^2 - q^2 = 2$。
过 $S$ 作直线 $y=x$ 的垂线 $SN$，由于直线的斜率为 $1$，垂线斜率为 $-1$，
垂线 $SN$ 的方程为 $y - q = -(x - p)$，即 $x+y = p+q$。
联立 $\begin{cases} x+y=p+q \\ y=x \end{cases}$ 解得垂足 $N\left(\dfrac{p+q}{2}, \dfrac{p+q}{2}\right)$。
利用距离公式，有：
|ON| = \sqrt{\left(\dfrac{p+q}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{p+q}{2} ight)^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}|p+q|，
$|SN| = \dfrac{|p-q|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|p-q|}{\sqrt{2}}$。
由于 $\triangle SON$ 是直角三角形（$\angle SNO = 90^\circ$），
其面积 $S_{\triangle SON} = \dfrac{1}{2} |ON| \cdot |SN| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}|p+q| \cdot \dfrac{|p-q|}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{4}|p^2 - q^2|$。
因为 $p^2 - q^2 = 2$，代入可得 $S_{\triangle SON} = \dfrac{1}{4} \times 2 = \dfrac{1}{2}$ 为定值，故D正确。