若方程$\dfrac{5}{x-2}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{4}{x(x-2)}$有增根，则增根可能为$(\quad)$

A. $0$

B. $2$

C. $0$或$2$

D. $1$

1. 确定分式方程最简公分母及可能产生增根的自变量取值

首先确定分式方程的最简公分母为 $x(x-2)$。
若原分式方程有增根，则该增根必须使最简公分母为 $0$，即：
$x(x-2) = 0$
解得：
$x = 0 \text{ 或 } x = 2$
因此，可能的增根候选值为 $0$ 和 $2$。

2. 将分式方程化为整式方程

方程两边同乘以最简公分母 $x(x-2)$，去掉分母，得到整式方程：
$5x = a(x-2) + 4$

3. 检验增根候选值并确定最终增根

将候选值分别代入整式方程进行检验：

1. 若 $x = 2$ 是增根，代入整式方程可得：
   $5 \times 2 = a(2-2) + 4 \Rightarrow 10 = 4$
   此等式显然不成立，说明无论 $a$ 取何值，$x = 2$ 都不可能是整式方程的解，因此 $x = 2$ 不能作为增根；
2. 若 $x = 0$ 是增根，代入整式方程可得：
   $5 \times 0 = a(0-2) + 4 \Rightarrow 0 = -2a + 4 \Rightarrow a = 2$
   当 $a = 2$ 时，整式方程的解为 $x = 0$，此时最简公分母为 $0$，故 $x = 0$ 是原分式方程的增根。

综上所述，该分式方程的增根可能为 $0$。
故选：A。