$1$ から $n$ までの自然数を $1$ つずつ選び, 順に $a_1, a_2, \cdots, a_n$ とする. ただし, $a_1, a_2, \cdots, a_n$ は互いに異なる数とする. このとき, 次の問いに答えよ.

1. 验证 $n = 1$ 时等式成立

当 $n = 1$ 时，
左边 $= 1^2 = 1$，
右边 $= \frac{1}{6} \times 1 \times (1 + 1) \times (2 \times 1 + 1) = \frac{1}{6} \times 2 \times 3 = 1$。
左边 $=$ 右边，因此 $n = 1$ 时等式成立。

2. 归纳假设并推导 $n = m + 1$ 的情形

假设当 $n = m$（$m$ 为正整数）时等式成立，即
$\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{1}{6} m(m + 1)(2m + 1)$
则当 $n = m + 1$ 时，

这表明当 $n = m + 1$ 时等式也成立。

3. 给出归纳结论

综合以上步骤，由数学归纳法可知，对任意自然数 $n$，等式
$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n(n + 1)(2n + 1)$
均成立。

1. 将两个和式分别展开并整理

展开被求和式：
$(a_k - k)^2 = a_k^2 - 2k a_k + k^2$
$\{a_k - (n - k + 1)\}^2 = a_k^2 - 2(n - k + 1)a_k + (n - k + 1)^2$
两式相加得：
$(a_k - k)^2 + \{a_k - (n - k + 1)\}^2 = 2a_k^2 + k^2 + (n - k + 1)^2 - 2[k + (n - k + 1)]a_k$
注意到 $k + (n - k + 1) = n + 1$，因此该式化为：
$2a_k^2 + k^2 + (n - k + 1)^2 - 2(n + 1)a_k$

2. 利用排列性质转换各项求和

因为 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $1$ 到 $n$ 的一个排列，所以：
$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2$
$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n(n + 1)$
又因为当 $k$ 从 $1$ 遍历到 $n$ 时，$n - k + 1$ 同样从 $n$ 遍历到 $1$，所以：
$\sum_{k=1}^{n} (n - k + 1)^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2$

3. 代入求和公式计算最终表达式

对所有项求和：

1. 建立目标式与第(2)问恒等式的联系并分析最值条件

由第 (2) 问的结果，对任意满足条件的排列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，均有：
$\sum_{k=1}^{n} (a_k - k)^2 = \frac{1}{3} n(n^2 - 1) - \sum_{k=1}^{n} \{a_k - (n - k + 1)\}^2$
由于对每一个 $k = 1, 2, \cdots, n$，都有 $\{a_k - (n - k + 1)\}^2 \geqslant 0$，因此：
$\sum_{k=1}^{n} \{a_k - (n - k + 1)\}^2 \geqslant 0$
从而：
$\sum_{k=1}^{n} (a_k - k)^2 \leqslant \frac{1}{3} n(n^2 - 1)$

2. 确定取得最大值时的 $a_k$ 并验证其合法性

等号成立（即原式取得最大值）当且仅当：
$a_k - (n - k + 1) = 0 \quad (k = 1, 2, \cdots, n)$
即
$a_k = n - k + 1 \quad (k = 1, 2, \cdots, n)$
此时，$(a_1, a_2, \cdots, a_n) = (n, n - 1, \cdots, 1)$，恰为 $1$ 到 $n$ 的自然数各取一次且互不相同，满足题目条件。
因此，使 $\sum_{k=1}^{n} (a_k - k)^2$ 取得最大值的序列为 $a_k = n - k + 1$（$k = 1, 2, \cdots, n$）。