观察下列等式 $1 > \dfrac{1}{2} 1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} > 1 1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{5}+ \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{7} > \dfrac{3}{2} 1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{15} > 2 1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{31} > \dfrac{5}{2} (1)$从上述不等式归纳出一个与正整数$n$有关的一般不等式； (2)证明你归纳得到的不等式．

1. 分析已知不等式的规律，找出左端最后一项分母与右端数值之间的关系

观察不等式左边最后一项分母的变化：

• 当右端为 $\dfrac{1}{2}$ 时，左端最后一项分母为 $1 = 2^1 - 1$；
• 当右端为 $1 = \dfrac{2}{2}$ 时，左端最后一项分母为 $3 = 2^2 - 1$；
• 当右端为 $\dfrac{3}{2}$ 时，左端最后一项分母为 $7 = 2^3 - 1$；
• 当右端为 $2 = \dfrac{4}{2}$ 时，左端最后一项分母为 $15 = 2^4 - 1$；
• 当右端为 $\dfrac{5}{2}$ 时，左端最后一项分母为 $31 = 2^5 - 1$。

2. 归纳得出与正整数 $n$ 有关的一般不等式

由此可以推广归纳出：对于任意正整数 $n$，不等式左端最后一项的分母为 $2^n - 1$，对应的右端为 $\dfrac{n}{2}$。
因此，归纳得到的一般不等式为：
$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{2^n - 1} > \dfrac{n}{2} \quad (n \in \mathbb{N}_+)$

1. 验证 $n=1$ 时不等式成立

当 $n=1$ 时，不等式左边为 $1$，右边为 $\dfrac{1}{2}$。
因为 $1 > \dfrac{1}{2}$，所以不等式成立。

2. 写出归纳假设

假设当 $n=k$ ($k \in \mathbb{N}_+$) 时不等式成立，即：
$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{2^k - 1} > \dfrac{k}{2}$

3. 证明当 $n=k+1$ 时不等式也成立

当 $n=k+1$ 时，不等式左边为：
$\text{LHS} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{2^k - 1} + \dfrac{1}{2^k} + \dfrac{1}{2^k + 1} + \dots + \dfrac{1}{2^{k+1} - 1}$
利用归纳假设，可得：
$\text{LHS} > \dfrac{k}{2} + \left(\dfrac{1}{2^k} + \dfrac{1}{2^k + 1} + \dots + \dfrac{1}{2^{k+1} - 1}\right)$
注意到后半部分括号中共有 $2^{k+1} - 2^k = 2^k$ 项，且其中每一项都大于 $\dfrac{1}{2^{k+1}}$。
因此，有以下不等关系：
$\dfrac{1}{2^k} + \dfrac{1}{2^k + 1} + \dots + \dfrac{1}{2^{k+1} - 1} > \underbrace{\dfrac{1}{2^{k+1}} + \dfrac{1}{2^{k+1}} + \dots + \dfrac{1}{2^{k+1}}}_{2^k \text{ 项}} = 2^k \cdot \dfrac{1}{2^{k+1}} = \dfrac{1}{2}$
从而得到：
$\text{LHS} > \dfrac{k}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{k+1}{2}$
即当 $n=k+1$ 时，不等式也成立。
综上所述，由数学归纳法可知，对任意正整数 $n$，不等式均成立。