用数学归纳法证明$1+2+3+\cdot \cdot \cdot +{{n}^{2}}=\dfrac{{{n}^{4}}+{{n}^{2}}}{2}$，则当$n=k+1$时左端应在$n=k$的基础上加上

A. ${{k}^{2}}+1$

B. ${{\left( k+1 \right)}^{2}}$

C. $\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{4}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{2}$

D. $\left( {{k}^{2}}+1 \right)+\left( {{k}^{2}}+2 \right)+\left( {{k}^{2}}+3 \right)+\cdot \cdot \cdot +{{\left( k+1 \right)}^{2}}$

1. 确定 $n=k$ 时等式左端的表达式

当 $n=k$ 时，根据等式 $1+2+3+\cdots+n^2 = \dfrac{n^4+n^2}{2}$，其左端为从 $1$ 开始，每次递增 $1$，一直加到 $k^2$ 的和：
$S(k) = 1+2+3+\cdots+k^2$

2. 确定 $n=k+1$ 时等式左端的表达式

当 $n=k+1$ 时，等式的左端为从 $1$ 开始加到 $(k+1)^2$ 的所有正整数的和：
$S(k+1) = 1+2+3+\cdots+k^2+(k^2+1)+(k^2+2)+\cdots+(k+1)^2$

3. 通过对比找出两者的差值，得出结论

对比 $S(k)$ 和 $S(k+1)$，可以看出，当 $n$ 从 $k$ 变为 $k+1$ 时，左端在 $n=k$ 的基础上增加的项为：
$(k^2+1)+(k^2+2)+(k^2+3)+\cdots+(k+1)^2$
因此，正确选项为 D。