利用数学归纳法证明不等式 $1{+}\dfrac{1}{2}{+}\dfrac{1}{3}{+}\cdots {+}\dfrac{1}{{{2}^{n}}-1} < f\left( n \right)\left( n\geqslant 2,n\in {{N}^{*}} \right)$ 的过程中，由$n=k$变成$n=k+1$时，左边增加了 $()$

A. $1$项

B. $k$项

C. ${{2}^{k-1}}$项

D. ${{2}^{k}}$项

1. 写出 $n=k$ 时不等式左边的表达式

根据题意，当 $n=k$（$k \geqslant 2, k \in \mathbb{N}^*$）时，不等式的左边为：
$S_k = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{2^k-1}$

2. 写出 $n=k+1$ 时不等式左边的表达式并找出增加的项

当 $n=k+1$ 时，不等式的左边为：
$S_{k+1} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{2^k-1} + \dfrac{1}{2^k} + \dfrac{1}{2^k+1} + \cdots + \dfrac{1}{2^{k+1}-1}$
对比 $S_k$ 与 $S_{k+1}$，从 $n=k$ 变为 $n=k+1$ 时，左边增加的项为：
$\dfrac{1}{2^k} + \dfrac{1}{2^k+1} + \cdots + \dfrac{1}{2^{k+1}-1}$

3. 计算增加项的项数并得出结论

增加的项的分母是从 $2^k$ 到 $2^{k+1}-1$ 的连续整数。
因此，增加的项数为：
$(2^{k+1}-1) - 2^k + 1 = 2 \cdot 2^k - 2^k = 2^k$
所以由 $n=k$ 变成 $n=k+1$ 时，左边增加了 $2^k$ 项。
故选 D。