【能7】一个自然数有12个因数，这个数最小是 ___ .

1. 确定正整数因数个数公式与12的乘积拆分形式

设自然数 $N$ 的质因数分解式为 $N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$，则其因数个数为 $(a_1 + 1)(a_2 + 1)\dots(a_k + 1) = 12$。
将 12 拆分为若干大于 1 的整数之积，有以下四种情形：

1. $12 = 12$
2. $12 = 6 imes 2$
3. $12 = 4 imes 3$
4. $12 = 3 imes 2 imes 2$

2. 分类讨论求出每种情形下的最小值

为了使 $N$ 最小，应将较大的指数赋给较小的质数（依次选用最小的质数 $2, 3, 5$）：

1. 当拆分为 $12$ 时，$a_1 = 11$，最小值为 $2^{11} = 2048$；
2. 当拆分为 $6 imes 2$ 时，$a_1 = 5, a_2 = 1$，最小值为 $2^5 imes 3^1 = 32 imes 3 = 96$；
3. 当拆分为 $4 imes 3$ 时，$a_1 = 3, a_2 = 2$，最小值为 $2^3 imes 3^2 = 8 imes 9 = 72$；
4. 当拆分为 $3 imes 2 imes 2$ 时，$a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 1$，最小值为 $2^2 imes 3^1 imes 5^1 = 4 imes 3 imes 5 = 60$。

3. 比较各情形最小值，得出最终结果

比较上述四种情形的最小值：$\min(2048, 96, 72, 60) = 60$。
所以这个数最小是 $60$。