设点$F_{1}$，$F_{2}$分别是双曲线$C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{2}=1\left(a > 0\right)$的左、右焦点，过点$F_{1}$且与$x$轴垂直的直线$l$与双曲线$C$交于$A$，$B$两点.若$\triangle ABF_{2}$的面积为$2 \sqrt{6}$，则该双曲线的渐近线方程为$()$

A. $y=± \sqrt{3}x$

B. $y=± \dfrac{ \sqrt{3}}{3}x$

C. $y=± \dfrac{ \sqrt{2}}{2}x$

D. $y= \sqrt{2}x$

1. 确定双曲线的参数 $b$ 并求出通径 $AB$ 的长度

由双曲线方程 $C: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{2} = 1$ 可知 $b^2 = 2$，即 $b = \sqrt{2}$。
过左焦点 $F_1(-c, 0)$ 且与 $x$ 轴垂直的直线方程为 $x = -c$。
将 $x = -c$ 代入双曲线方程得：
$\dfrac{(-c)^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{2} = 1 \implies \dfrac{c^2 - a^2}{a^2} = \dfrac{y^2}{2}$
因为 $c^2 - a^2 = b^2 = 2$，所以 $\dfrac{2}{a^2} = \dfrac{y^2}{2}$，解得 $y = \pm \dfrac{2}{a}$。
因此，线段 $AB$ 的长度为 $|AB| = 2 \cdot \dfrac{2}{a} = \dfrac{4}{a}$。

2. 利用三角形面积公式建立关于 $a$ 和 $c$ 的等式

在 $\triangle ABF_2$ 中，底边为 $|AB| = \dfrac{4}{a}$，高为焦点 $F_2(c, 0)$ 到直线 $x = -c$ 的距离，即 $d = 2c$。
所以 $\triangle ABF_2$ 的面积为：
$S = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot 2c = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{a} \cdot 2c = \dfrac{4c}{a}$
已知面积为 $2\sqrt{6}$，则有：
$\dfrac{4c}{a} = 2\sqrt{6} \implies \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$
因此，$c = \dfrac{\sqrt{6}}{2}a$。

3. 利用双曲线的焦点、实轴、虚轴关系求出参数 $a$ 的值

因为 $c = \dfrac{\sqrt{6}}{2}a$，两边平方得 $c^2 = \dfrac{3}{2}a^2$。
又因为在双曲线中 $c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 2$，
代入可得：
$a^2 + 2 = \dfrac{3}{2}a^2 \implies \dfrac{1}{2}a^2 = 2 \implies a^2 = 4$
由于 $a > 0$，所以 $a = 2$。

4. 求出双曲线的渐近线方程

因为 $a = 2, b = \sqrt{2}$，且双曲线焦点在 $x$ 轴上，
所以渐近线方程为 $y = \pm \dfrac{b}{a}x = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}x$。
对照选项，C项符合题意。