在等腰$\triangle ABC$中，$AB=AC$，一边上的中线$BD$将这个三角形的周长分为$15$或$12$两个部分，则该等腰三角形的底边长等于 ___ ．

1. 设未知数并表示被中线分成的两部分周长

设等腰$\triangle ABC$的腰长为 $AB = AC = x$，底边长为 $BC = y$。
因为 $BD$ 是腰 $AC$ 上的中线，所以 $AD = CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}x$。
中线 $BD$ 将三角形的周长分为两部分，这两部分分别为：
第一部分：$AB + AD = x + \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x$；
第二部分：$BC + CD = y + \frac{1}{2}x$。
根据题意，这两部分的长分别为 $15$ 或 $12$，由于没有明确哪一部分是 $15$ 或 $12$，需分类讨论。

2. 讨论第一种情况并验证三角形三边关系

当第一部分为 $15$，第二部分为 $12$ 时：
$\begin{cases} \dfrac{3}{2}x = 15 \\ y + \dfrac{1}{2}x = 12 \end{cases}$
由第一式解得 $x = 10$，代入第二式得 $y + 5 = 12$，解得 $y = 7$。
此时，三角形三边长分别为 $10, 10, 7$。
由于 $10 + 7 = 17 > 10$，满足三角形两边之和大于第三边，故 $y = 7$ 是一个合格的解。

3. 讨论第二种情况并验证三角形三边关系

当第一部分为 $12$，第二部分为 $15$ 时：
$\begin{cases} \dfrac{3}{2}x = 12 \\ y + \dfrac{1}{2}x = 15 \end{cases}$
由第一式解得 $x = 8$，代入第二式得 $y + 4 = 15$，解得 $y = 11$。
此时，三角形三边长分别为 $8, 8, 11$。
由于 $8 + 8 = 16 > 11$，满足三角形两边之和大于第三边，故 $y = 11$ 也是一个合格的解。

4. 得出最终结论

综上所述，该等腰三角形的底边长等于 $7$ 或 $11$。