已知f(x)=sin⁡(2x+φ)f(x)=\sin (2x+φ),若f(π3)=0f( \dfrac {π}{3})=0,则函数f(x)f(x)图象的一条对称轴直线是()()
A. x=π3x= \dfrac {π}{3}
B. x=2π3x= \dfrac {2π}{3}
C. x=5π12x= \dfrac {5π}{12}
D. x=7π12x= \dfrac {7π}{12}

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完整解法

1. 根据函数值确定初相 $\phi$ 的关系

解:因为 f(π3)=0f\left( \dfrac{\pi}{3} \right) = 0,
所以 sin⁡(2×π3+φ)=0\sin\left( 2 \times \dfrac{\pi}{3} + \varphi \right) = 0,
即 sin⁡(2π3+φ)=0\sin\left( \dfrac{2\pi}{3} + \varphi \right) = 0。
因此,2π3+φ=k1π\dfrac{2\pi}{3} + \varphi = k_1\pi(k1∈Zk_1 \in \mathbb{Z}),
得 φ=k1π−2π3\varphi = k_1\pi - \dfrac{2\pi}{3}(k1∈Zk_1 \in \mathbb{Z})。

2. 确定函数解析式

取 k1=1k_1 = 1,可得一个符合题意的初相 φ=π3\varphi = \dfrac{\pi}{3},
此时函数的解析式为 f(x)=sin⁡(2x+π3)f(x) = \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{3} \right)。

3. 求对称轴的通项公式

令 2x+π3=k2π+π22x + \dfrac{\pi}{3} = k_2\pi + \dfrac{\pi}{2}(k2∈Zk_2 \in \mathbb{Z}),
解得 2x=k2π+π62x = k_2\pi + \dfrac{\pi}{6},
所以 x=k2π2+π12x = \dfrac{k_2\pi}{2} + \dfrac{\pi}{12}(k2∈Zk_2 \in \mathbb{Z})。

4. 结合选项求出具体的一条对称轴

令 k2=1k_2 = 1,可得 x=π2+π12=7π12x = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{7\pi}{12}。
对比各选项可知,D项符合题意。

故选:D。

答案

D

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