小明准备在自家后院靠墙处，用一段长为 $24$ 米的防护网围成一个矩形小鸡舍。如图所示，鸡舍的一面利用已有的笔直砖墙，另外三面用防护网围成。请问：小明能围成的矩形鸡舍的最大面积是多少平方米？

1. 设未知数并建立面积关于边长的二次函数关系式

设矩形鸡舍垂直于砖墙的两条边长均为 $x$ 米。
由于防护网总长为 $24$ 米，因此与砖墙平行的另一条边长为 $(24 - 2x)$ 米。
设矩形鸡舍的面积为 $S$ 平方米，根据矩形面积公式，可得：
$S = x(24 - 2x) = -2x^2 + 24x$
其中变长约束条件为 $x > 0$ 且 $24 - 2x > 0$，即 $0 < x < 12$。

2. 用配方法求二次函数的最大值

将二次函数表达式进行配方：
$S = -2(x^2 - 12x)$
$S = -2(x^2 - 12x + 36 - 36)$
$S = -2(x - 6)^2 + 72$
因为 $-2(x - 6)^2 \leqslant 0$，且 $x = 6$ 在定义域 $0 < x < 12$ 内，
所以当 $x = 6$ 时，$S$ 取得最大值，最大值为 $72$。

3. 总结并得出最终结论

当矩形垂直于墙的边长为 $6$ 米，平行于墙的边长为 $12$ 米时，能够围成的矩形鸡舍面积最大，最大面积为 $72$ 平方米。