已知代数式$x ^{a-b} y ^{2}$与$xy ^{2a+b}$是同类项，则$a$与$b$的值分别是$(\:\:\:\:)$

A. $a=0$，$b=1$

B. $a=2$，$b=1$

C. $a=1$，$b=0$

D. $a=0$，$b=2$

1. 根据同类项的定义建立二元一次方程组

根据同类项的定义，所含字母相同，且相同字母的指数也相同。
因此，代数式 $x^{a-b}y^2$ 与 $xy^{2a+b}$ 中，$x$ 的指数相同，$y$ 的指数也相同。
从而可以列出关于 $a$ 和 $b$ 的二元一次方程组：
$\begin{cases} a - b = 1 \\ 2a + b = 2 \end{cases}$

2. 解方程组求得 $a$ 与 $b$ 的值并选出正确选项

利用加减消元法，将方程组中的两个方程相加，得：
$(a - b) + (2a + b) = 1 + 2$
$3a = 3 \implies a = 1$

将 $a = 1$ 代入方程 $a - b = 1$ 中，得：
$1 - b = 1 \implies b = 0$

因此，方程组的解为：
$\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}$

对比各选项，选项 C 符合题意。

故选：C。