将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方体只有3个，则原来长方体的表面积是 ___平方厘米．

1. 建立无涂色小正方体数量与原长方体三维尺寸的关系方程

设原长方体的长、宽、高分别为 $a$ 厘米、$b$ 厘米、$c$ 厘米（$a, b, c$ 均为正整数，且大于 2）。
将表面涂色的长方体切割成棱长为 1 厘米的小正方体后，一面都没有涂红色的小正方体位于长方体的正中心内部，其排布构成一个长、宽、高分别为 $(a - 2)$ 厘米、$(b - 2)$ 厘米、$(c - 2)$ 厘米的小长方体。
根据题意，一面都没有红色的小正方体只有 3 个，因此可列出方程：
$(a - 2)(b - 2)(c - 2) = 3$

2. 利用整数分解求出原长方体的长、宽、高

因为 $a, b, c$ 为正整数，所以 $(a - 2)$、$(b - 2)$、$(c - 2)$ 均为正整数。
因为 3 是质数，将 3 分解为三个正整数的乘积只有一种可能（不计顺序）：
$1 imes 1 imes 3 = 3$
不妨设：
$\begin{cases} a - 2 = 1 \\ b - 2 = 1 \\ c - 2 = 3 \end{cases}$
解得：
$a = 3, \quad b = 3, \quad c = 5$
即原长方体的三条棱长分别为 3 厘米、3 厘米、5 厘米。

3. 计算原长方体的表面积

原长方体的表面积计算公式为：
$S = 2(ab + bc + ac)$
代入 $a = 3, b = 3, c = 5$：
$S = 2 imes (3 imes 3 + 3 imes 5 + 3 imes 5) = 2 imes (9 + 15 + 15) = 2 imes 39 = 78\text{ (平方厘米)}$