One root of the quadratic equation $x^2 - kx + 18 = 0$ is twice the other root, where $k > 0$. Find the value of $k$.

1. 设出两根并利用韦达定理建立方程组

设一元二次方程 $x^2 - kx + 18 = 0$ 的较小根为 $\alpha$，则另一根为 $2\alpha$。
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
$\begin{cases} \alpha \cdot 2\alpha = 18 \\ \alpha + 2\alpha = k \end{cases}$

2. 求解方程并结合 $k > 0$ 的条件确定 $k$ 的值

由两根之积的关系式可得：
$2\alpha^2 = 18 \implies \alpha^2 = 9 \implies \alpha = 3 \text{ 或 } \alpha = -3$
由两根之和的关系式可得：
$k = 3\alpha$
当 $\alpha = 3$ 时，$k = 3 \times 3 = 9$；
当 $\alpha = -3$ 时，$k = 3 \times (-3) = -9$。
已知 $k > 0$，故舍去 $k = -9$。
因此，$k = 9$。