已知集合 A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\},集合 B={1,2}B = \{1, 2\}.
(1) 写出集合 BB 的所有子集;
(2) 说明集合 BB 与集合 AA 的包含关系,并描述反映两者关系的 Venn 图要素.

完整解法

(1)

1. 按元素个数分类写出集合 B 的所有子集

集合 B={1,2}B = \{1, 2\} 包含 2 个元素,共有 22=42^2 = 4 个子集:

  • 不含元素的子集(空集):∅\varnothing
  • 含有 1 个元素的子集:{1}\{1\}, {2}\{2\}
  • 含有 2 个元素的子集:{1,2}\{1, 2\}

因此,集合 BB 的所有子集为 ∅,{1},{2},{1,2}\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}.

答案

集合 BB 的所有子集为:∅\varnothing, {1}\{1\}, {2}\{2\}, {1,2}\{1, 2\}.

(2)

1. 说明集合 B 与集合 A 的包含关系

已知 A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\},B={1,2}B = \{1, 2\}.
因为集合 BB 中的每一个元素(1 和 2)都是集合 AA 中的元素,且集合 AA 中存在元素 3∉B3 \notin B,
所以集合 BB 是集合 AA 的真子集(或称 BB 包含于 AA),记作 B⊊AB \subsetneq A(或 B⊆AB \subseteq A).

2. 描述反映两者关系的 Venn 图要素

在 Venn 图中反映两集合关系的要素为:

  1. 表示集合 BB 的封闭区域(圆圈)完全画在表示集合 AA 的封闭区域(圆圈)内部,呈现嵌套关系;
  2. 元素 1 和 2 标在集合 BB 的区域内部;
  3. 元素 3 标在集合 AA 内部但属于集合 BB 外部的环形区域内。
答案

包含关系:集合 BB 是集合 AA 的真子集,记作 B⊊AB \subsetneq A;
Venn 图要素:代表集合 BB 的封闭曲线完全包含在代表集合 AA 的封闭曲线内部;元素 1、2 位于 BB 的内部,元素 3 位于 AA 内部且在 BB 外部的区域中。

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