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三角式化简

三角表达式的化简

这个知识点的练习题

  1. 1解方程 2cot⁡22x=1−5sin⁡2x2 \cot^2 2x = 1 - \frac{5}{\sin 2x}，其中 −180∘≤x≤180∘-180^\circ \le x \le 180^\circ。
  2. 2证明 sin⁡3xsec⁡2x+sin⁡x=tan⁡xsec⁡x\sin^{3} x\sec^{2} x + \sin x = \tan x\sec x。 解方程 sin⁡3xsec⁡2x+sin⁡x=5\sin^{3} x\sec^{2} x + \sin x = 5，其中 0≤x≤360∘0 \le x \le 360^\circ。
  3. 3计算：cot44°•cot45°•cot46°= ．
  4. 4本题中不得使用计算器。 将 sin⁡22.5∘\sin 22.5^\circ 表示为 a−aa\frac{\sqrt{a - \sqrt{a}}}{a} 的形式，其中 aa 是一个整数。 证明 tan⁡15∘=2−3\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}…
  5. 5解联立方程组 y=x2−6,y=2x−3.\begin{aligned} y &= x^2 - 6, \\ y &= 2x - 3. \end{aligned} 证明 3cos⁡θ+cos⁡2θ−1cos⁡2θ+2cos⁡θ=2−sec⁡θ\frac{3 \cos \theta + \cos 2\theta - 1}{\cos^2 \theta + 2 \cos \theta} = 2 - \sec \theta…
  6. 6已知函数 f(x)f(x) 满足 f′(x)=sin⁡2x+cos⁡3xf'(x) = \sin 2x + \cos 3x。又已知 f(π6)=0f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0， 证明 f′′(x)+9f(x)=−34−52cos⁡2xf''(x) + 9f(x) = -\frac{3}{4} - \frac{5}{2}\cos 2x…
  7. 7一曲线的方程为 y=2x2x+1y = 2x\sqrt{2x+1}。 证明 dydx=ax+b2x+1\frac{dy}{dx} = \frac{ax+b}{\sqrt{2x+1}}，其中 aa 和 bb 为正整数。 由此，求 ∫3x+12x+1 dx\int \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}} \, dx…
  8. 8已知 y=2cos⁡xsin⁡2x−sin⁡xcos⁡2xy = 2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x，证明 \dfrac{dy}{dx} = k\cos x \cos 2x，并写出，并写出 k 的值。 由此证明 $$\int_{0}^{\pi/4}\left(7\cos x\cos 2x + \sec^{2} x\right)\,dx = \dfrac{7\sqrt{2}}{3} + 1.…
  9. 9证明 3cos⁡2x+sin⁡2x=2+cos⁡2x3\cos^2 x + \sin^2 x = 2 + \cos 2x。 因此，利用 (a) 部分的结果， 因此，利用 (a) 部分的结果， 求 3cos⁡222.5∘+sin⁡222.5∘3\cos^2 22.5^\circ + \sin^2 22.5^\circ 的精…
  10. 10证明恒等式 cos⁡xcosec x−1+cos⁡xcosec x+1=2tan⁡x\frac{\cos x}{\text{cosec } x - 1} + \frac{\cos x}{\text{cosec } x + 1} = 2 \tan x。 解方程 tan⁡x+2sec⁡2x=5\tan x + 2\sec^2 x = 5…
  11. 11证明 csc⁡2x+cot⁡2x=cot⁡x\csc 2x + \cot 2x = \cot x。 由此推导 cot⁡15∘\cot 15^\circ 的根式形式的值。 利用第 (i) 部分，求解 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ 范围内的方程 csc⁡2x+cot⁡2x=6−5tan⁡x\csc 2x + \cot 2x = 6 - 5\tan x…
  12. 12证明三角恒等式：csc⁡2A+2cot⁡A(cos⁡A+sin⁡A)2=csc⁡2A\dfrac{\csc^{2}A + 2\cot A}{(\cos A + \sin A)^{2}} = \csc^{2}A 由此求解方程：csc⁡2A+2cot⁡A=4(cos⁡A+sin⁡A)2对于   0≤x≤360∘.\csc^{2}A + 2\cot A = 4(\cos A + \sin A)^{2} \quad\text{对于 }\; 0 \le x \le 360^{\circ}.…
  13. 13在不使用计算器的情况下，化简下列三角函数。 sin⁡(x+4π3)\sin \left(x + \frac{4\pi}{3}\right) cos⁡75∘\cos 75^\circ tan⁡(θ−45∘)\tan(\theta - 45^\circ)
  14. 14证明恒等式 cos⁡2x−sin⁡2x1+2sin⁡xcos⁡x=1−tan⁡x1+tan⁡x\dfrac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{1 + 2\sin x\cos x} = \dfrac{1 - \tan x}{1 + \tan x}。 解方程 cos⁡2x−sin⁡2x1+2sin⁡xcos⁡x=23tan⁡x\dfrac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{1 + 2\sin x\cos x} = \dfrac{2}{3}\tan x…
  15. 15证明 cos⁡(A+B)cos⁡(A−B)=cos⁡2A+cos⁡2B−1\cos(A + B) \cos(A - B) = \cos^2 A + \cos^2 B - 1。 由此，求 cos⁡15∘cos⁡75∘\cos 15^\circ \cos 75^\circ 的值（不使用计算器）。
  16. 16证明恒等式 csc⁡4x+cot⁡4x=cot⁡2x\csc 4x + \cot 4x = \cot 2x。 由此，求在 −180∘≤θ≤180∘-180^\circ \le \theta \le 180^\circ 范围内，使 csc⁡2θ+cot⁡2θ=−3\csc 2\theta + \cot 2\theta = -\sqrt{3}…
  17. 17证明恒等式 1+cos⁡θsin⁡θ+sin⁡θ1+cos⁡θ=2csc⁡θ\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = 2\csc \theta。 由此，求在 0∘≤θ≤360∘0^\circ \le \theta \le 360^\circ…
  18. 18写出 sin⁡−1(−32)\sin^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) 的主值， tan⁡−1x\tan^{-1}x 的主值必须介于其间的数值， 使方程 4sin⁡2x=k4\sin^{2}x = k 有解的 kk 的取值范围。 证明恒等…
  19. 19已知 AA 和 BB 为锐角，使得 cos⁡A=35\cos A = \frac{3}{5} 且 tan⁡B=125\tan B = \frac{12}{5}。\n\n求下列各式的精确值：\n\ntan⁡2A\tan 2A,\n\nsin⁡(B+3π2),\n\n\sin\left(B + \dfrac{3\pi}{2}\right),\n\n…
  20. 20证明 sin⁡θ(sec⁡θ−tan⁡θ)(sin⁡θ+1)=tan⁡θ\dfrac{\sin \theta}{(\sec \theta - \tan \theta)(\sin \theta + 1)} = \tan \theta。 求在 00 到 π\pi 之间，满足 sin⁡θ(sec⁡θ−tan⁡θ)(sin⁡θ+1)=1−sec⁡2θ\dfrac{\sin \theta}{(\sec \theta - \tan \theta)(\sin \theta + 1)} = 1 - \sec^2 \theta…
  21. 21证明 (sin⁡θ−cos⁡θ)(1+sin⁡θcos⁡θ)cos⁡3θ=tan⁡3θ−1.\frac{(\sin\theta-\cos\theta)(1+\sin\theta\cos\theta)}{\cos^{3}\theta}=\tan^{3}\theta-1. 由此，对于 0<θ<2π0<\theta<2\pi，求满…
  22. 22点 (a,2)(a, 2) 是函数图像 y=x3−x2−x+by = x^3 - x^2 - x + b 的一个驻点，其中 aa 和 bb 为正常数。 证明 a=1a = 1。 求 bb 的值。 求另一个驻点的坐标。 判断每个驻点的类型。 解方程 2cos⁡2x−3sec⁡x+2=02 \cos 2x - 3 \sec x + 2 = 0…
  23. 23证明恒等式 sin⁡2A+cos⁡A1−cos⁡2A+sin⁡A=cot⁡A\frac{\sin 2A + \cos A}{1 - \cos 2A + \sin A} = \cot A 由此，针对 −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi，解方程 1−cos⁡4x+sin⁡2xsin⁡4x+cos⁡2x=5−2sec⁡22x\frac{1 - \cos 4x + \sin 2x}{\sin 4x + \cos 2x} = 5 - 2\sec^2 2x…
  24. 24将 sin⁡3x+cos⁡3x\sin^3 x + \cos^3 x 彻底因式分解。 证明 sin⁡3x+cos⁡3xsin⁡x+cos⁡x=1−12sin⁡2x\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x。 由此解方程 sin⁡3x+cos⁡3xsin⁡x+cos⁡x=54\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} = \frac{5}{4}…
  25. 25本题中不得使用计算器。 已知 tan⁡θ=35\tan\theta=\frac{3}{5} 且 θ\theta 是非锐角，求下列各项的精确值： cot θ+\theta + sec2θ^2 \theta。 sin θ\theta, cos(180∘−θ)(180^\circ - \theta)…
  26. 26已知 y=sec⁡xy = \sec x，证明 dydx=sec⁡xtan⁡x\frac{dy}{dx} = \sec x \tan x。 由此证明 y4−y2=(dydx)2y^4 - y^2 = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2。 已知 6x+12x+1\frac{6x + 1}{2x + 1}…
  27. 27如图所示为一个三角形 PQRPQR。 点 MM 在 QRQR 上，使得 QM=1QM = 1 个单位，且 MR=3MR = 3 个单位。 角 PRQ=90∘PRQ = 90^\circ，且 PRPR 为 xx 个单位。角 QPRQPR 和 MPRMPR 分别记…
  28. 28证明恒等式 tan⁡2y−sin⁡2ysec⁡2y(csc⁡2y−1)=tan⁡2ysin⁡4y\frac{\tan^2 y - \sin^2 y}{\sec^2 y (\csc^2 y - 1)} = \tan^2 y \sin^4 y。 由此求解方程 tan⁡2y−sin⁡2ysec⁡2y(csc⁡2y−1)=116tan⁡2y\frac{\tan^2 y - \sin^2 y}{\sec^2 y (\csc^2 y - 1)} = \frac{1}{16} \tan^2 y…
  29. 29AA 和 BB 是锐角，且满足 sin⁡(A−B)=14\sin(A - B) = \frac{1}{4} 以及 sin⁡Acos⁡B=35\sin A \cos B = \frac{3}{5}。 在不使用计算器的情况下，求以下各项的值： cos⁡Asin⁡B\cos A \sin B， sin⁡(A+B)\sin(A + B)…
  30. 30本题中不得使用计算器。 证明 sin⁡15∘=6−24\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}。 由此求出 sin⁡215∘\sin^2 15^\circ，将答案写成 a−3b\frac{a - \sqrt{3}}{b}…
  31. 31证明 tan⁡x1+sec⁡x+1+sec⁡xtan⁡x=2csc⁡x\dfrac{\tan x}{1+\sec x}+\dfrac{1+\sec x}{\tan x}=2\csc x。 由此，求方程 tan⁡2x1+sec⁡2x+1+sec⁡2xtan⁡2x=3sec⁡x\dfrac{\tan 2x}{1+\sec 2x}+\dfrac{1+\sec 2x}{\tan 2x}=3\sec x…
  32. 32如图所示， AC=35 cmAC = 35\text{ cm}， EC=15 cmEC = 15\text{ cm}，且角 ACB=θACB = \theta 弧度。 EDED 和 ABAB 均垂直于 DBDB。 清晰地解释为什么角 CED=θCED = \theta 弧度。…
  33. 33证明恒等式 cot⁡θ−1=cos⁡2θsin⁡θ(cos⁡θ+sin⁡θ)\cot \theta - 1 = \dfrac{\cos 2\theta}{\sin \theta (\cos \theta + \sin \theta)}。 由此解方程 cos⁡4θsin⁡2θ(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=−12\dfrac{\cos 4\theta}{\sin 2\theta(\cos 2\theta + \sin 2\theta)} = -\dfrac{1}{2}…
  34. 34证明恒等式 sin⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡xsin⁡x=2csc⁡x.\frac{\sin x}{1-\cos x} + \frac{1-\cos x}{\sin x} = 2\csc x. 由此解方程 sin⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡xsin⁡x=5\frac{\sin x}{1-\cos x} + \frac{1-\cos x}{\sin x} = 5…
  35. 35已知 f(x)=2−3sin⁡3x\text{f}(x) = 2 - 3\sin 3x 且 g(x)=4cos⁡(x2)−1\text{g}(x) = 4\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 1。 写出 f(x)\text{f}(x) 的最小值和最大值。 写出 g(x)\text{g}(x)…
  36. 36已知 θ\theta 是锐角且 sin⁡θ=m\sin \theta = m，用 mm 表示： 另一个锐角 α\alpha 满足 tan⁡(θ−α)=−12\tan(\theta - \alpha) = -\frac{1}{2}。 cos⁡θ\cos \theta， cot⁡θ\cot \theta…
  37. 37已知 sin⁡(A+B)sin⁡(A−B)=15\frac{\sin(A + B)}{\sin(A - B)} = \frac{1}{5}，证明 2tan⁡A+3tan⁡B=02\tan A + 3\tan B = 0。 由此，解方程 sin⁡(x−45∘)=5sin⁡(x+45∘)\sin(x - 45^\circ) = 5\sin(x + 45^\circ)…
  38. 38证明 sin⁡105∘\sin 105^\circ 的值可以表示为 14(p+q)\tfrac{1}{4}(p+q)，其中 pp 和 qq 是常数。 已知 cos⁡(A+B)cos⁡(A−B)=27\dfrac{\cos(A+B)}{\cos(A-B)}=\dfrac{2}{7} 且 sin⁡Asin⁡B≠0\sin A\sin B\ne 0…
  39. 39求证：2−sec⁡2θsec⁡θ(sin⁡θ+cos⁡θ)=1−tan⁡θ\frac{2 - \sec^2 \theta}{\sec \theta (\sin \theta + \cos \theta)} = 1 - \tan \theta。 由此解方程 4−2sec⁡2θsec⁡θ(sin⁡θ+cos⁡θ)=sec⁡2θ−2\frac{4 - 2\sec^2 \theta}{\sec \theta (\sin \theta + \cos \theta)} = \sec^2 \theta - 2…
  40. 40AA 和 BB 是锐角，满足 sin⁡(A−B)=38\sin(A - B) = \frac{3}{8} 且 sin⁡Acos⁡B=58\sin A \cos B = \frac{5}{8}。在不使用计算器的情况下，求 cos⁡Asin⁡B\cos A \sin B 的值。 将 2sin⁡2θ(sec⁡θ−tan⁡θ)2\sin 2\theta(\sec \theta - \tan \theta)…
  41. 41解方程 6z(6z−1)=12.6^{z}(6^{z} - 1) = 12. 已知一条曲线的方程为 y=xe3xy = x e^{3x}。 求 dydx\dfrac{dy}{dx}。 求使得 d2ydx2=ke3x(2+3x)\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = k e^{3x}(2 + 3x)…
  42. 42证明恒等式 sin⁡θ1+cos⁡θ=tan⁡θ2\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \tan \dfrac{\theta}{2}。 由此，求方程 1+cos⁡θsin⁡θ=−3\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta} = -3 在 0∘≤θ≤360∘0^\circ \le \theta \le 360^\circ…
  43. 43证明 4sin⁡x+2cos⁡(x+π6)=acos⁡x+bsin⁡x4 \sin x + 2 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = a \cos x + b \sin x，其中 aa 和 bb 为精确值。 将 4sin⁡x+2cos⁡(x+π6)4 \sin x + 2 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)…
  44. 44证明 sec⁡2x1+sec⁡2x=2cos⁡2x+3\dfrac{\sec^2 x}{1 + \sec^2 x} = \dfrac{2}{\cos 2x + 3}。 由此，解方程 sec⁡22x1+sec⁡22x=47\dfrac{\sec^2 2x}{1 + \sec^2 2x} = \dfrac{4}{7}，其…
  45. 45已知 sin⁡A=0.3\sin A = 0.3，其中 AA 为钝角。 求下列三角比的值。 sec⁡A\sec A， cos⁡2A\cos 2A， tan⁡(A+45∘)\tan(A + 45^\circ)。
  46. 46证明 tan⁡x+cos⁡x1+sin⁡x=sec⁡x\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \sec x。 在不使用计算器的情况下，解释为什么方程 tan⁡x+cos⁡x1+sin⁡x=−13\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = -\frac{1}{3}…
  47. 47已知 f(x)f(x) 满足 f′(x)=sin⁡14x−cos⁡4xf'(x) = \sin \frac{1}{4}x - \cos 4x。若 f(2π)=1f(2\pi) = 1，证明 16f′′(x)+f(x)=asin⁡4x+b16f''(x) + f(x) = a \sin 4x + b，其中 aa 和 bb 为…
  48. 48证明恒等式 1−sin⁡4xsin⁡2x=cot⁡2x+cos⁡2x\frac{1 - \sin^4 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x + \cos^2 x。 由此解方程 cot⁡22x+cos⁡22x=0\cot^2 2x + \cos^2 2x = 0，其中 0∘<x<180∘0^\circ < x < 180^\circ…
  49. 49解方程 3cos⁡2x=sin⁡x+23 \cos 2x = \sin x + 2，其中 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ。 求 0 到 5 之间所有满足方程 sin⁡2x+3cos⁡2x=0\sin 2x + 3 \cos^2 x = 0 的角。
  50. 50证明恒等式 sin⁡(π3+x)−sin⁡(π3−x)=sin⁡x\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\sin x。 由此，解方程 sin⁡(π3+2x)−sin⁡(π3−2x)−2=4sin⁡2x\sin\left(\frac{\pi}{3}+2x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)-2=4\sin 2x…
  51. 51证明 ddθ(cos⁡4θ+sin⁡4θ)=psin⁡qθ\frac{\text{d}}{\text{d}\theta}(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = p \sin q\theta，其中 pp 和 qq 是整数。 由此求出对于 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}…
  52. 52证明 csc⁡2x+cot⁡2x=cot⁡x\csc 2x + \cot 2x = \cot x。 由此解方程 csc⁡x+cot⁡x=3\csc x + \cot x = \sqrt{3}，其中 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi。
  53. 53已知 f(x)f(x) 满足 f′(x)=cos⁡4x−sin⁡2xf'(x) = \cos 4x - \sin 2x。又已知 f(π2)=14f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{4}，证明 f′′(x)+4f(x)=3−3sin⁡4xf''(x) + 4f(x) = 3 - 3\sin 4x…
  54. 54已知 y=(x−2)(2x−5)3y = (x - 2)(2x - 5)^3。 求 dydx\frac{dy}{dx} 的表达式，并表示为 (ax+b)(2x−5)2(ax + b)(2x - 5)^2 的形式，其中 aa 和 bb 为整数。 确定使得 yy 为递减函数的 xx 的…
  55. 55证明 tan⁡x1+sec⁡x+1+sec⁡xtan⁡x=2sin⁡x\dfrac{\tan x}{1+\sec x}+\dfrac{1+\sec x}{\tan x}=\dfrac{2}{\sin x}。 由此，求方程 tan⁡x1+sec⁡x+1+sec⁡xtan⁡x=1+3sin⁡x\dfrac{\tan x}{1+\sec x}+\dfrac{1+\sec x}{\tan x}=1+3\sin x…
  56. 56证明 tan⁡2θsec⁡2θ−1=cot⁡θ\dfrac{\tan 2\theta}{\sec 2\theta - 1} = \cot \theta。
  57. 57曲线的方程为 y=xx+1y = x\sqrt{x+1}。 证明 ddx(xx+1)=3x+22x+1.\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{x+1}\right)=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}. 一质点沿该曲线运动，其 xx 坐标以每秒 0.20.2…
  58. 58证明恒等式 tan⁡A−cot⁡Atan⁡A+cot⁡A=1−2cos⁡2A\dfrac{\tan A - \cot A}{\tan A + \cot A} = 1 - 2\cos^{2} A。 由此解方程 tan⁡2θ−cot⁡2θtan⁡2θ+cot⁡2θ=12\frac{\tan 2\theta - \cot 2\theta}{\tan 2\theta + \cot 2\theta} = \frac{1}{2}…
  59. 59已知 sin⁡A=0.3\sin A = 0.3，其中 AA 为钝角。 求下列三角比的值。 sec⁡A\sec A； cos⁡2A\cos 2A； tan⁡(A+45∘)\tan(A + 45^\circ)。
  60. 60已知 y=A−Bcos⁡4x−12sin⁡2xy = A - B \cos 4x - \frac{1}{2} \sin 2x 且 d2ydx2+4y=3cos⁡4x+1\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = 3 \cos 4x + 1，求常数 AA 和 BB 的值。