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驻点性质

在简单情况下，通过解析法利用一阶导数检验法或二阶导数检验法确定驻点（局部极大值点、极小值点和拐点）的性质。

这个知识点的练习题

  1. 1[底面半径为 rr、高为 hh 的圆锥体积由 V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h 给出。] 某制造商用同一种材料制作了一个漏斗状的装饰品，它由两部分组成，如图 1所示。 * 一个半径为 rr cm、高为 hh…
  2. 2曲线 C 的方程为 x+y=(x−y)2x + y = (x - y)^2。 已知 C 只有一个转向点。 证明 1−dydx=21+2x−2y1 - \frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + 2x - 2y}。 由此，或用其他方法，证明 d2ydx2=(1−dydx)3\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \left(1 - \frac{dy}{dx}\right)^3…
  3. 3曲线 C 的方程为 x+y=(x−y)2.x + y = (x - y)^2. 已知 C 只有一个驻点。 证明 1−dydx=21+2x−2y1 - \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2}{1 + 2x - 2y}。 由此或用其他方法，证明 d2ydx2=(1−dydx)3.\dfrac{d^2y}{dx^2} = \left(1 - \dfrac{dy}{dx}\right)^3.…
  4. 4曲线 C1C_1 的方程为 p2x2−y2=p2p^2x^2 - y^2 = p^2，其中 p>1p > 1。 画出 C1C_1 的草图，用 pp 表示出其与坐标轴的所有交点坐标、所有驻点坐标以及所有渐近线方程。 C1C_1 经过单一变换得到 C2C_2。…
  5. 5一个圆心角为 θ\theta 弧度、半径为 4π cm4\pi\text{ cm} 的扇形被用来围成一个直圆锥的侧面，且没有重叠。证明该圆锥的体积为 8π34π2θ4−θ6 cm3.\hfill[3]\frac{8\pi}{3}\sqrt{4\pi^2\theta^4 - \theta^6}\text{ cm}^3. \hfill [3]…
  6. 6作为艺术项目的一部分，一个学生设计了一个如图所示的八面体灯笼。灯笼的框架由十二根直铁丝组成，端点相连，形成两个相同的正四棱锥（其底面为边长为 4x m4x\text{ m} 的正方形，侧棱长为 y my\text{ m}）。铁丝框架用彩色纸紧紧包…
  7. 7下图显示了一个体积固定为 4k34k\sqrt{3} 单位3^{3} 的梯形柱体的尺寸，其中变量为 xx 和 yy。 该柱体的顶面 ABCDABCD 是一个等腰梯形，其中 ABAB 的长度为 5x5x 单位，DCDC 的长度为 3x3x 单…
  8. 8曲线 CC 的方程为 y=x−2kx2+x−2y = \frac{x - 2}{kx^2 + x - 2}，其中 k>1k > 1。 求 CC 与 yy 轴相交的点 AA 处的切线方程。 画出 CC 的草图，并用含 kk 的式子给出渐近线方程、极值点…
  9. 9函数 y=f(x)y = \text{f}(x) 的图像在 (2,3)(2,3) 处有一个极大值转折点，且经过原点。直线 x=−1x = -1 和 y=2y = 2 是该图像的渐近线，如下图所示。 求使 y=1f(x)y = \frac{1}{\text{f}(x)}…
  10. 10曲线 CC 的方程为 y=x2+kx+4x+1y = \frac{x^2 + kx + 4}{x + 1}，其中 kk 为常数。 若 CC 有两个不同的驻点，求 kk 的取值范围。 在接下来的问题中，使用 k=4k = 4。 画出 CC 的图像，清晰地…
  11. 11曲线 C 的方程为 y=k(x+1)+4x+1y = k(x+1) + \dfrac{4}{x+1}，x∈Rx \in \mathbb{R}，x≠−1x \ne -1，其中 0<k<20 < k < 2 是一个常数。 将曲线 C 的图像进行以下变换：先关于 x 轴对称，然后…
  12. 12一名参加“项目日”（Project Day）的华中（Hwa Chong）学生需要设计一张矩形海报来展示他的项目。根据海报设计的规则，海报应包含 1352 cm\textsuperscript{2} 的印刷区域，上下边距各为 4 cm，左右边…
  13. 13[球体的表面积和体积分别由 4πr24\pi r^2 和 43πr3\dfrac{4}{3}\pi r^3 给出。] 一位预算固定为 $k 的水族爱好者想要建造一个金鱼避难所（鱼缸）。他设计的鱼缸包括一个圆形顶盖、一个长度为 LL cm 的圆柱体…
  14. 14图 1 展示了一张卡片 ABCDABCD，它是一个边长为 aa cm 的菱形。该卡片由两个完全相同的等边三角形 ABDABD 和 CBDCBD 组成。从每个角剪掉筝形，得到图 2 所示的形状。将图 2 中剩余的卡片沿虚线折叠，形成一个高为 xx…
  15. 15[剑桥/J78/II/6] 一个满足 AB=ACAB = AC 的等腰三角形 ABCABC 内接于一个半径为 1 个单位的固定圆（圆心为 OO）。角度 BOC=2θBOC = 2\theta，其中 θ\theta 为锐角。用 θ\theta…
  16. 16设 f(x) 是一个三次多项式，满足 f(2) = 6 且 f(-1) = 15。同时，f(x) 在 x = -2 和 x = 1 处取得驻值。求 f(x)。
  17. 17一位德明政府中学校友计划捐资在正信园中央建造两个锦鲤池。这两个水池的形状分别为“D”和“H”，如下图所示（所有尺寸单位均为米，图示未按比例绘制）。 阴影区域表示水池表面。“D”形池由一个 3h3h 乘 hh 的矩形和由两个半径分别为 2r2r…
  18. 18如图所示，点 QQ 在点 AA 的正上方 400 m400\text{ m} 处。初始时，一个气球位于点 QQ，并以 10 m10\text{ m} 每秒的恒定速度沿水平直线运动，远离位于点 AA 的观察者。在开始后的时刻 tt 秒时，气球…
  19. 19下图显示了一条抛物线，它与 xx 轴交于点 (−2a,0)(-2a, 0) 和 (2a,0)(2a, 0)，且其顶点（最大值点）为 (0,4a2)(0, 4a^2)，其中 aa 是正常数。三角形 OPQOPQ 内接于该抛物线，使得点 PP 和 QQ 对称地分布在…
  20. 20如图所示，一个铅球从点 OO 以速度 v ms−1v\text{ ms}^{-1} 抛出，抛射角与水平方向成 θ\theta。点 OO 位于地面上点 AA 的上方 1.5m1.5\text{m} 处。以包含该抛体运动轨迹的平面为 xx-yy…
  21. 21下图显示了两个可导函数 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像。在 x=cx = c 处，两个函数之间的距离达到最大值。证明 f′(c)=g′(c)f'(c)=g'(c)，其中 f′(x)f'(x) 和 g′(x)g'(x) 分别是 f(x)f(x) 和 g(x)g(x)…
  22. 22在某栋建筑中，有一个 LL 形通道（见下图）。通道 1 的固定宽度为 3 米，与通道 1 垂直的通道 2 的固定宽度为 2 米。点 AA 和点 BB 分别位于通道 1 和通道 2 的一侧墙壁上，使得线段 ABAB 接触转角 OO，且…
  23. 23深度为 dd 的输水通道的横截面 PQRSPQRS 如下图所示。已知 PQ+QR+RS=2aPQ+QR+RS=2a，且 PQPQ 和 RSRS 各自与直线 QRQR 的夹角均为 θ\theta。 证明横截面 PQRSPQRS 的面积为 A=2ad+d2(cot⁡θ−2csc⁡θ)A=2ad + d^2(\cot\theta -2\csc\theta)…
  24. 24函数f(x)=x44−x33f(x)= \dfrac {x^{4}}{4}- \dfrac {x^{3}}{3}的极值点为()() A. 00 B. −1-1 C. 00或11 D. 11
  25. 25在本题中，aa、bb、cc 和 dd 均为非零常数。 曲线 CC 的方程为 y=ax2+bx−7x−cy = \frac{ax^2 + bx - 7}{x - c}，其斜渐近线 y=dx+2y = dx + 2 与垂直渐近线相交于点 (4,6)(4, 6)。 求 aa…
  26. 26已知曲线方程为 y=x2−3a2x−ay=\dfrac{x^2-3a^2}{x-a}，其中 aa 是正常数。 求该曲线的渐近线方程，并证明该曲线上没有驻点。 草拟该图像，用含有 aa 的式子写出其与坐标轴任何交点的坐标。 通过考虑 y=f′(x)y=f'(x) 的…
  27. 27曲线 C 的方程为 y=f(x)y = f(x)，其中 f(x)=2(x−1)2x−3f(x) = \frac{2(x-1)^2}{x-3}。 草拟 C 的图像，并清晰地标出渐近线方程、任何驻点的坐标以及与坐标轴的交点。 在另一张图上草拟 y=f(∣x∣)y = f(|x|) 的图像。…
  28. 28已知 f(x)=x+m2x−2\mathrm{f}(x) = x + \frac{m^2}{x-2}，其中 0<m<10 < m < 1。 画出 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图像，清晰地标出极值点的坐标以及所有渐近线的方程。 通过在第 (i) 问的草图…
  29. 29已知 f(x)={12x2,for 1≤x<2,14(−3x+14),for 2≤x<4,f(x) = \begin{cases} \tfrac{1}{2}x^2, & \text{for } 1 \le x < 2, \\ \tfrac{1}{4}(-3x+14), & \text{for } 2 \le x < 4, \end{cases}…
  30. 30图 1 展示了从一张边长为 20 cm 的正方形纸板上剪下的三棱柱的展开图。该展开图由一个长宽分别为 zz cm 和 xx cm 的矩形、两个长宽分别为 zz cm 和 yy cm 的矩形以及两个底边为 xx cm、垂直高度为 hh…
  31. 31一位农民拥有一块土地 OABOAB，其相邻两边为 OAOA 和 OBOB。以 OO 为原点，OAOA 和 OBOB 分别平行于 xx 轴和 yy 轴。弧 ABAB 由参数方程表示： x=cos⁡θ,y=θ−12sin⁡2θ,0≤θ≤π2.x = \cos\theta, \quad y = \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta, \quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.…
  32. 32曲线 CC 的方程为 y=2ax+bxy = 2ax + \frac{b}{x}，其中 aa 和 bb 为非零实常数且 x≠0x \ne 0。 利用求导，确定当 ab<0ab < 0 时曲线 CC 是否存在任何驻点。 现在已知 b=12ab = \frac{1}{2}a…
  33. 33在等腰三角形 ABCABC 中，AC=BCAC = BC，AB=20 cmAB = 20\text{ cm}，且 ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ。一个矩形 PQRSPQRS 内接于 ABCABC，其中顶点 PP 和 QQ 在 ABAB 上，顶点…
  34. 34已知 f(x)=ax3+bx2+cx+d\mathrm{f}(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 aa、bb、cc 和 dd 是常数。 方程为 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的曲线 CC 穿过点 (0,−1)(0, -1)，且在 (−1,1)(-1, 1)…
  35. 35[半径为 rr 的球体表面积为 4πr24\pi r^2，体积为 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3。] 碧山东公园中心将建造一个喷水池。它由一个半径为 rr m 的半球体与一个半径为 rr m、高为 hh m 的无盖圆柱体相连组…
  36. 36曲线 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的方程是一个三次多项式的形式。该曲线在 (−1,0)(-1, 0) 处有一个极大值点，并经过坐标为 (4,25)(4, 25) 的点。曲线在 x=3x = 3 处的切线平行于方程为 y=24x+5y = 24x + 5 的…
  37. 37画出曲线 y=x3−4xy = x^3 - 4x 的草图，标出零点、极值点和拐点坐标。
  38. 38函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 的定义为 f:x→4(x−4)2,x∈R,x≠4,\mathrm{f} : x \to \frac{4}{(x-4)^2}, \quad x \in \mathbb{R}, x \ne 4, g:x→ln⁡(1+1x),x∈R,x>0.\mathrm{g} : x \to \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right), \quad x \in \mathbb{R}, x > 0.…
  39. 39(Q2) [Cambridge/9231/2007] 曲线 C 的方程为 y=ax2+bx+cx+4,y = \frac{ax^2 + bx + c}{x + 4}, 其中 aa，bb 和 cc 是常数。已知 y=2x−5y = 2x - 5 是 C 的一条渐近…
  40. 40函数 f 的定义为 f:x↦4+1(x−1)2+1,x≥0f : x \mapsto 4 + \dfrac{1}{(x-1)^2 + 1},\quad x \ge 0。 函数 g 的定义为 g : x \mapsto \sin x,\quad x \in [0,2\pi]。画出。 画出 …
  41. 41曲线的方程为 y=f(x)y=f(x)，其中 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c。曲线 y=f(x)y=f(x) 在 (1,−32)(1,-32) 处有一个极大值点，而曲线 y=1f(x)y=\dfrac{1}{f(x)} 有一条方程为 x=5x=5 的垂直渐近线…
  42. 42已知曲线 CC 的方程为 y=−4x2−6x−112x+2y = \dfrac{-4x^2 - 6x - 11}{2x + 2}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R} 且 x≠−1x \ne -1。 不使用计算器，求 yy 不能取的值的集合。 画出 CC 的草…
  43. 43曲线 CC 的方程为 y=x2+4x+λ−5x+r,y = \frac{x^2 + 4x + \lambda - 5}{x + r}, 其中 λ\lambda 为非零常数，且有一条垂直渐近线 x=1x = 1。 写出 rr 的值并求出 CC 的另一条渐近线…
  44. 44抛体运动是指发射物体的运动，其仅受重力加速度常数 g ms−2g\text{ ms}^{-2} 的作用。该物体被称为抛体，其路径被称为轨迹。 如上图所示，一个抛体从原点以大小为 u ms−1u\text{ ms}^{-1} 的初速度发射，其发射角与水平方向…
  45. 45图示为 y=f′(x)y = \text{f}'(x) 的图像，它经过原点，且极值点为 (2,5)(2, 5) 和 (6,0)(6, 0)。y=f′(x)y = \text{f}'(x) 的图像有一条垂直渐近线 x=−1x = -1 和一条水平渐近线 y=5y = 5。 草拟…
  46. 46曲线 CC 的方程为 y=2x2−5ax+2a2+1x−ay = \frac{2x^2 - 5ax + 2a^2 + 1}{x - a}，其中 x≠ax \ne a。 求渐近线的方程，用 aa 表示你的答案。 若曲线 CC 没有驻点，求 aa 的取值范围。 草拟 a>1a > 1…
  47. 47下图展示了一个体积固定为 4k34k\sqrt{3} 单位3^3的梯形棱柱的尺寸，其中变量为 xx 和 yy。 该棱柱的顶面 ABCDABCD 是一个等腰梯形，其中 ABAB 长度为 5x5x 单位，DCDC 长度为 3x3x 单位，AD=BCAD = BC…
  48. 48曲线 C 由参数方程定义： x=a(1+1t)x = a\left(1 + \dfrac{1}{t}\right) 且 y=a(t−1t2)y = a\left(t - \dfrac{1}{t^2}\right) 其中 aa 是正常数且 t≠0t \ne 0。 证明 dydx=−(2+t3t).\dfrac{dy}{dx} = -\left(\dfrac{2 + t^3}{t}\right).…
  49. 49一张先锋卡纸 ABCDEFABCDEF 呈边长为 a cma\text{ cm} 的正六边形。从每个角剪掉一个风筝形，得到如图 1 所示的阴影形状。然后将其折叠成一个高为 h cmh\text{ cm} 的无盖正六边形盒子，如图 2 所示。 证明该盒子的体…
  50. 50MI PU2 Promo 9758/2019/02/Q1 A 镇、B 镇和 C 镇位于瓦坎迪国（Wakandi Country）。A 镇与 B 镇之间的距离为 60 km，B 镇与 C 镇之间的距离为 20 km。一条铁路连接 A 镇与 B…
  51. 51曲线 CC 的方程为 y=ekxekx−e−kxy = \frac{e^{kx}}{e^{kx} - e^{-kx}}，其中 x≠0x \ne 0 且 k∈R, k≠0k \in \mathbb{R},\ k \ne 0。 证明 CC 没有驻点。 求曲线 CC 在 y=2y = 2…
  52. 52曲线 CC 的方程为 y=2x2−10x+17x−3,x∈R,x≠3y = \frac{2x^2 - 10x + 17}{x - 3}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad x \ne 3。 在不使用计算器的情况下，求 CC 可以取到的 yy 值集合。…
  53. 53某公司制造一个如下图所示的玻璃密封容器。 该密封容器的厚度忽略不计，由两个部分组成。底部是一个底面半径为 r cmr\text{ cm}、高为 h cmh\text{ cm} 的圆柱体。顶部是一个半径为 r cmr\text{ cm} 的半球。公司要求…
  54. 54曲线 CC 的方程为 y=3x2+ax+3x+1y = \frac{3x^2 + ax + 3}{x + 1}，其中 aa 是常数，a≠6a \ne 6。 求 aa 的取值范围，使得 CC 与 xx 轴不相交。 已知 CC 的方程为 y=3x2−6x+3x+1y = \frac{3x^2 - 6x + 3}{x + 1}…
  55. 55图 1 展示了一个从一边长为 30 cm 的矩形纸板上裁剪出的直正六棱柱的展开图。该展开图由两个边长为 a cm 的正六边形和六个边长分别为 a cm 和 h cm 的矩形组成。将该展开图折叠后形成一个正六棱柱，其底面为边长 a cm 的正…
  56. 56函数 y=ax2+bx+cx+dy = \frac{ax^2 + bx + c}{x+d} 的图像有一条方程为 x=−1x = -1 的垂直渐近线和一条方程为 y=2x+2y = 2x + 2 的斜渐近线。已知 c≠2c \ne 2。 写出 dd 的值，并证明 a=2a = 2…
  57. 57一家受欢迎的玩具公司正在为儿童设计一种新的戏水装置。该玩具由一个圆柱形水容器组成，用于盛水以进行各种嬉戏活动。这个圆柱形容器设计为内接于一个固定的、由厚度可忽略不计的耐用塑料制成的刚性半球形外壳中。 [图：下方的横截面图显示了一个半径为 2a2a…
  58. 58曲线 GG 的方程为 y=ax+b+c(x+1)2y = ax + b + \dfrac{c}{(x+1)^2}，其中 aa、bb 和 cc 是正整数。 设 RR 是由曲线 GG、坐标轴以及直线 x=3x = 3 围成的区域。 解释为什么对于所有 x>0x > 0…
  59. 59在一项测试将新型空间望远镜发射升空的设计理论的实验中，科学家们借助计算机分析程序，在一个实验系统中监测一个带电粒子的运动，该程序在 x−yx-y 平面上以曲线的形式呈现其运动路径。发射后 tt 分钟，粒子的 xx 和 yy 坐标由以下参…
  60. 60一位照明顾问打算为圣诞节建造一个巨型的八面体灯光结构。该结构的棱由 12 根粗细可忽略不计的直钢棒制成，这些钢棒在端点处焊接在一起，形成两个全等的直四棱锥。如上图所示，每个棱锥的高度为 3y3y 米，底面是边长为 2x2x 米的正方形。已知…