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反函数与复合函数

反函数与复合函数。

这个知识点的练习题

  1. 1函数 ff 和 gg 的定义如下： f:x↦16−4x,  x∈R,  x≤4,f : x \mapsto \sqrt{16 - 4x},\; x \in \mathbb{R},\; x \le 4, g:x↦x2,  x∈R.g : x \mapsto x^{2},\; x \in \mathbb{R}.…
  2. 2曲线 C 的方程为 x+y=(x−y)2x + y = (x - y)^2。 已知 C 只有一个转向点。 证明 1−dydx=21+2x−2y1 - \frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + 2x - 2y}。 由此，或用其他方法，证明 d2ydx2=(1−dydx)3\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \left(1 - \frac{dy}{dx}\right)^3…
  3. 3证明对于 x>1x>1， ddx(1x2−1)=−x(x2−1)3/2 .\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)=-\dfrac{x}{(x^2-1)^{3/2}}\,. ddx(sin⁡−11x)=−1xx2−1 .\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin^{-1}\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,.…
  4. 4函数 gg 定义为 g:x↦ln⁡(x−3)g : x \mapsto \ln(x - \sqrt{3})，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}，x>3x > \sqrt{3}。 解释你如何得知 g−1g^{-1} 存在。 求 g−1(x)g^{-1}(x) 并写…
  5. 5函数 ff 的定义为 f:x↦x2−4x, x∈R, ∣x∣<1.f : x \mapsto x^2 - 4x,\ x \in \mathbb{R},\ |x|<1. 函数 gg 的定义为 g:x↦1+1x+3, x∈R, x≠−3.g : x \mapsto 1 + \frac{1}{x+3},\ x \in \mathbb{R},\ x \ne -3.…
  6. 6函数 f 的定义域为全体实数集，由下式给出： f(x)={4−x2for 0<x≤2,2x−4for 2<x≤4,\text{f}(x) = \begin{cases} 4 - x^2 & \text{for } 0 < x \le 2, \\ 2x - 4 & \text{for } 2 < x \le 4, \end{cases}…
  7. 7函数 f, g 和 h 定义如下： f : x→sin⁡(πx),x∈R,0≤x≤2x \rightarrow \sin(\pi x), x \in \mathbb{R}, 0 \le x \le 2, g : x→ax,x∈R,x≥−1x \rightarrow a^{x}, x \in \mathbb{R}, x \ge -1…
  8. 8下列函数中，满足f(x2)=[f(x)]2f(x^{2})=[f(x)]^{2}的是()() A. f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x B. f(x)=∣x+1∣f(x)=|x+1| C. f(x)=x3f(x)=x^{3} D. f(x)=exf(x)=e^{x}
  9. 9函数 f 定义为 f(x)=ln⁡(5−x),  x<5f(x)=\ln(5-x),\; x<5。 求由曲线 y=f(x)y=f(x) 以及 x 轴和 y 轴所围成的区域绕 y 轴完全旋转一周所得旋转体的体积。答案精确到两位小数。 写出使得 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|)=|f(x)| 成立的…
  10. 10函数 ff 和 gg 的定义为 f:x↦∣(x+1)(x−3)∣,x∈R,f: x \mapsto |(x+1)(x-3)|,\quad x \in \mathbb{R}, g:x↦x−2,x∈R 且 x≥−1.g: x \mapsto x-2,\quad x \in \mathbb{R}\text{ 且 }x \ge -1.…
  11. 11函数 f 和 g 定义为 f:x↦[ln⁡(x−1)]2+2,x≥a,f : x \mapsto [\ln(x-1)]^{2} + 2,\quad x \ge a, g:x↦4+3x−x2,x≤32.g : x \mapsto 4 + 3x - x^{2},\quad x \le \frac{3}{2}. 已…
  12. 12函数 gg 定义为 g(x)={21+x2if x≤0,0if x>0.g(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{2}{1+x^2} &\text{if } x\le 0,\\[4pt] 0 &\text{if } x>0. \end{cases}…
  13. 13函数 f\mathrm{f} 定义为 f:x↦5+2x\mathrm{f} : x \mapsto \sqrt{5+2x}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R} 且 x>−52x > -\frac{5}{2}。 求满足 f2(a)=5\mathrm{f}^2(a) = 5…
  14. 14函数 f 和 g 的定义为 f:x↦x2+3x+1, x∈R, x≤−32,f : x \mapsto x^2 + 3x + 1,\ x \in \mathbb{R},\ x \le -\frac{3}{2}, g:x↦3+e−x, x∈R.g : x \mapsto 3 + e^{-x},\ x \in \mathbb{R}.…
  15. 15已知 f(x)={12x2,for 1≤x<2,14(−3x+14),for 2≤x<4,f(x) = \begin{cases} \tfrac{1}{2}x^2, & \text{for } 1 \le x < 2, \\ \tfrac{1}{4}(-3x+14), & \text{for } 2 \le x < 4, \end{cases}…
  16. 16函数 f 定义为 f:x↦ex+12x+2对于 x∈R, x≠−1.f : x \mapsto e^x + \dfrac{1}{2x+2}\quad\text{对于 } x \in \mathbb{R},\ x \ne -1. 函数 g 定义在 x∈R, x≥1x \in \mathbb{R},\ x \ge 1…
  17. 17已知函数f(x)=ax+b(a>0f(x)=a^{x}+b(a>0且a≠1)a\neq 1)的图像过点(1,7)(1,7)，其反函数y=f−1(x)y=f^{-1}(x)的图像过点(4,0)(4,0)，则aa的值为___.
  18. 18函数 f\mathrm{f} 定义为 f(x)={4−xfor 1≤x<3,(x−4)2for 3≤x<4,\mathrm{f}(x) = \begin{cases} 4 - x & \text{for } 1 \le x < 3, \\ (x - 4)^2 & \text{for } 3 \le x < 4, \end{cases}…
  19. 19函数 f 定义为 f:x↦1x2+6x+5f : x \mapsto \dfrac{1}{x^2 + 6x + 5}，其中 x≥−3x \ge -3 且 x≠−1x \ne -1。 函数 g 定义为 g:x↦exg : x \mapsto e^x，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}…
  20. 20专题 4：函数 [MI/2014/MYE PU1/13] 函数 f\mathrm{f} 的定义为： f:x↦x2−6x+14,x∈R.\mathrm{f} : x \mapsto x^2 - 6x + 14, \quad x \in \mathbb{R}.…
  21. 21函数 f\text{f} 的定义为 f:x↦1x2−x−6+2,x∈R, x≠−2, x≠3.\text{f} : x \mapsto \frac{1}{x^2 - x - 6} + 2, \quad x \in \mathbb{R}, \ x \ne -2, \ x \ne 3. 解释…
  22. 22函数 f\text{f} 的定义为 f:x→2x−12x,0<x<2.\text{f} : x \to 2x - \frac{1}{2x}, \quad 0 < x < 2. 已知 f−1\text{f}^{-1} 存在。 以类似的格式定义 f−1\text{f}^{-1}…
  23. 23函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 的定义为 f:x→4(x−4)2,x∈R,x≠4,\mathrm{f} : x \to \frac{4}{(x-4)^2}, \quad x \in \mathbb{R}, x \ne 4, g:x→ln⁡(1+1x),x∈R,x>0.\mathrm{g} : x \to \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right), \quad x \in \mathbb{R}, x > 0.…
  24. 24函数 ff 定义为 f:x↦5(x−4)2f : x \mapsto \dfrac{5}{(x-4)^2}，其中 x∈R, x<4x\in\mathbb{R},\ x<4。 求 f−1(x)f^{-1}(x) 并写出 f−1f^{-1} 的定义域。 在同一个清晰标示的图中，画出…
  25. 25函数 f 的定义为 f:x↦4+1(x−1)2+1,x≥0f : x \mapsto 4 + \dfrac{1}{(x-1)^2 + 1},\quad x \ge 0。 函数 g 的定义为 g : x \mapsto \sin x,\quad x \in [0,2\pi]。画出。 画出 …
  26. 26函数 g\text{g} 定义为 g:x↦ln⁡(x−3)\text{g} : x \mapsto \ln(x - \sqrt{3})，其中 x∈Rx \in \mathbb{R} 且 x>3x > \sqrt{3}。 说明你如何得知反函数 g−1\text{g}^{-1}…
  27. 27函数 f\mathrm{f} 定义为 f:x↦axx−a,对于 x∈R, −a≤x<a,\mathrm{f} : x \mapsto \frac{ax}{x-a}, \quad \text{对于 } x \in \mathbb{R}, \ -a \le x < a, 其中 aa…
  28. 28函数 ff 和 gg 的定义为 f:x↦1−1x2−1f : x \mapsto 1-\dfrac{1}{x^{2}-1} 对于 x∈R,  x<−1x \in \mathbb{R},\; x<-1， g:x↦x2+4x+5g : x \mapsto x^{2}+4x+5 对于 x∈R,  x≤1x \in \mathbb{R},\; x\le 1…
  29. 29配方 2x2−9x+52x^2 - 9x + 5。 在本题的其余部分中，f\mathrm{f} 的定义域为 x∈Rx \in \mathbb{R}，1≤x≤21 \le x \le 2。 求方程 f(x)=f−1(x)\mathrm{f}(x) = \mathrm{f}^{-1}(x)…
  30. 30函数 f 定义为 f:x↦{a2x−ax2for x≤12a,−12a2x+12a3for x>12a.f : x \mapsto \begin{cases} a^2 x - a x^2 & \text{for } x \le \tfrac{1}{2}a, \\ -\tfrac{1}{2}a^2 x + \tfrac{1}{2}a^3 & \text{for } x > \tfrac{1}{2}a. \end{cases}…
  31. 31函数 f 的定义如下： f(x)=x+1x−a,a<x≤bf(x)=x+\frac{1}{x-a},\qquad a<x\le b 其中 a 为正常数。 已知 f−1f^{-1} 存在，证明 b≤a+1b \le a+1。 已知 a=1a = 1 且 b=2b = 2，求 f−1(x)f^{-1}(x)…
  32. 32函数 f\mathrm{f} 定义为 f:x↦2xx2−1,x∈R, x>1\mathrm{f} : x \mapsto \frac{2x}{x^2 - 1}, \quad x \in \mathbb{R}, \ x > 1。 草绘 f\mathrm{f} 的图像并证明…
  33. 33如果对于 h\text{h} 定义域中的所有 xx，都有 h(x)=h−1(x)\text{h}(x) = \text{h}^{-1}(x)，则称函数 h\text{h} 为自反函数。 函数 f\text{f} 和 g\text{g} 定义为 f(x)=2+1x−2,for x∈R,x>2g(x)={3x−1for x≤1,(x−1)2+2for x>1.\begin{aligned} \text{f}(x) &= 2 + \frac{1}{x-2}, \quad \text{for } x \in \mathbb{R}, x > 2 \\ \text{g}(x) &= \begin{cases} 3x - 1 & \text{for } x \le 1, \\ (x-1)^2 + 2 & \text{for } x > 1. \end{cases} \end{aligned}…
  34. 34函数 gg 定义为 g(x)={21+x2if x≤0,0if x>0.g(x)=\begin{cases} \dfrac{2}{1+x^2} &\text{if } x \le 0, \\ 0 &\text{if } x > 0. \end{cases} 给出 gg 没有反函数…
  35. 35下图显示了 y=f(x)y=f(x) 的图像。 在同一图上画出 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 的图像，清晰标出任何渐近线方程以及曲线与坐标轴交点的坐标。并说明这两个图像之间的几何关系。 函数 gg 定义为 g:x↦x2+6x+5g:x\mapsto x^{2}+6x+5…
  36. 36函数 f 的定义为 f:x↦x3−1f : x \mapsto x^{3} - 1, x∈Rx \in \mathbb{R}。 (i) 求 f−1(x)f^{-1}(x) 的表达式。 (ii) 在同一幅图上草绘 y=f(x)y = f(x) 和 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)…
  37. 37函数 f\mathrm{f} 定义为 f:x↦1−4x2, 对于 x∈R,x<−1.\mathrm{f} : x \mapsto 1 - \frac{4}{x^2}, \text{ 对于 } x \in \mathbb{R}, x < -1. 画出 y=f(x)y = \mathrm{f}(x)…
  38. 38实数数列 x1,x2,x3,…x_1, x_2, x_3, \dots 满足递推关系 xn+1=5xn+22xn+3 for all n≥1.x_{n+1} = \frac{5x_n + 2}{2x_n + 3} \text{ for all } n \ge 1. 已知该数列收敛于 ll，求 ll…
  39. 39函数 f 定义为 f:x↦12−x2,x∈R,  x≤0,  x≠−2 .f:x\mapsto\dfrac{1}{2-x^2},\quad x\in\mathbb{R},\;x\le 0,\;x\ne -\sqrt{2}\,. 以类似的格式定义反函数 f−1f^{-1}。 在同一坐标系中画…
  40. 40函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 定义如下： f:x↦2x+143x−2,x∈R,x>23,g:x↦sin⁡xx,x∈R,x>0.\begin{aligned} \mathrm{f} &: x \mapsto \frac{2x+14}{3x-2}, \quad x \in \mathbb{R}, x > \frac{2}{3}, \\ \mathrm{g} &: x \mapsto \frac{\sin x}{x}, \quad x \in \mathbb{R}, x > 0. \end{aligned}…
  41. 41该图显示了方程为 y=2sin⁡−1xy = 2\sin^{-1}x 的曲线 CC 以及方程为 y=8π3x−πy = \frac{8\pi}{3}x - \pi 的直线 LL。CC 和 LL 相交于 x=12x = \frac{1}{2} 的点。 区域 SS…
  42. 42函数 f\text{f} 的定义为 f:x↦axx−a,对于 x∈R, −a≤x<a,\text{f} : x \mapsto \frac{ax}{x - a}, \quad \text{对于 } x \in \mathbb{R}, \ -a \le x < a, 其中 aa…
  43. 43若对于函数 f\mathrm{f} 定义域内的所有 xx，都有 f(x)=f−1(x)\mathrm{f}(x) = \mathrm{f}^{-1}(x)，则称该函数为自身反函数。 函数 g\mathrm{g} 定义为 g:x↦x2+2x2−1,x>1.\mathrm{g} : x \mapsto \sqrt{\frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}}, \quad x > 1.…
  44. 44函数 f\mathrm{f} 的定义为 f:x↦cos⁡(πx2)\mathrm{f} : x \mapsto \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}，−2<x≤0-2 < x \le 0。 草拟…
  45. 45函数 gg 定义为 g:x↦ln⁡(x−3)g : x \mapsto \ln\bigl(x - \sqrt{3}\bigr)，其中 x∈Rx \in \mathbb{R} 且 x>3x > \sqrt{3}。 解释你是如何知道 g−1g^{-1} 存在的。 求…
  46. 46函数 f\mathrm{f} 的定义为 f:x↦ln⁡x2−(ln⁡x)2,x>0.\mathrm{f} : x \mapsto \ln x^2 - (\ln x)^2, \quad x > 0. 草拟 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图像，并清晰标出与坐标轴的所…
  47. 47函数 f\text{f} 的定义为 f:x→13(ex−2−1),x>2\text{f} : x \to \frac{1}{3}(e^{x-2}-1), x > 2。 求 f−1\text{f}^{-1} 并写出其定义域。 解释为什么 f(x)=f−1(x)\text{f}(x) = \text{f}^{-1}(x)…
  48. 48函数 f 定义如下： f:x↦x2−3xf : x \mapsto x^2 - 3x，对于 ∣x∣<a|x| < a。 (i) 写出使反函数 f−1f^{-1} 存在的最大 aa 值。由此求出 f−1(x)f^{-1}(x)，并写出在此 aa 值下 f−1f^{-1}…
  49. 49图中的函数 ff 在 0≤x≤60 \le x \le 6 上定义如下： f:x↦12x2for 0≤x≤2,f : x \mapsto \tfrac{1}{2}x^{2}\quad\text{for }0 \le x \le 2, f:x↦12x+1for 2<x≤6.f : x \mapsto \tfrac{1}{2}x + 1\quad\text{for }2 < x \le 6.…
  50. 50函数 h 的定义如下： h:x↦ln⁡(x−k+1), x∈R, x≥k,h : x \mapsto \ln(x - k + 1),\ x \in \mathbb{R},\ x \ge k, 其中 k<0k < 0。 求 kk 的值，使得 hghg 的值域为 (ln⁡5,∞)(\ln 5,\infty)…
  51. 51函数 f\mathrm{f} 由下式给出 f(x)={52−x,x∈R, x<21x,x∈R, x≥2\mathrm{f}(x) = \begin{cases} \frac{5}{2} - x, & x \in \mathbb{R},\ x < 2 \\ \frac{1}{x}, & x \in \mathbb{R},\ x \ge 2 \end{cases}…
  52. 52函数 ff 和 gg 的定义如下。 f(x)={22−xfor 0≤x<2,ln⁡(x−2)for 2<x≤4.f(x)=\begin{cases} \dfrac{2}{2-x} & \text{for } 0\le x<2, \\ \ln(x-2) & \text{for } 2<x\le 4. \end{cases}…
  53. 53设 RR 是由曲线 y=4xy = 4\sqrt{x} 和 y=x2+1y = x^2 + 1 围成的区域。 求区域 RR 的面积。 如果直线 x=cx = c 将区域 RR 分为两个面积相等的区域，求 cc 的值。 求区域 RR 绕 yy…
  54. 54某国统计局开发了两个数学函数来分析外籍劳工政策。第一个函数 ff 根据允许进入该国的外籍劳工数量，来对该国基础设施（住房、交通、公用事业和医疗服务等）所承受的压力进行建模，其定义如下： f(x)=(x−5)3+200,0≤x≤15f(x) = (x - 5)^3 + 200, \quad 0 \le x \le 15…
  55. 55函数 f\text{f} 的定义如下： f:x↦−x−3x+1, 其中 x∈R,x≠k.\text{f} : x \mapsto \frac{-x - 3}{x + 1}, \text{ 其中 } x \in \mathbb{R}, x \ne k. 写出 kk 的值，并解释…
  56. 56函数 f 的定义如下。 f : x−>−1x2+1x -> \displaystyle -\frac{1}{x^{2}+1}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}。 画出 y = f(x) 的图像草图。 如果 f 的定义域限制为 x≤kx \le k…
  57. 57函数 f 和 g 定义为 f:x↦∣(x+1)(x−3)∣,x∈R,f:x\mapsto |(x+1)(x-3)|,\quad x\in\mathbb{R}, g:x↦x−2,x∈R 且 x≥−1.g:x\mapsto x-2,\quad x\in\mathbb{R}\ \text{且 } x\ge -1.…
  58. 58设 f(x)=2x2−10x+6f(x) = 2x^2 - 10x + 6，x≤kx \leq k。 a 求使 f−1(x)f^{-1}(x) 存在的最大 kk 值。 b 对此 kk 值：i 求 f−1(x)f^{-1}(x)。ii 写出 f−1(x)f^{-1}(x)…
  59. 59函数 f\mathrm{f} 的定义为 f:x↦x−1x\mathrm{f} : x \mapsto \frac{x-1}{x}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}，x≠0x \ne 0 且 x≠1x \ne 1。 给出 f−1\mathrm{f}^{-1}…
  60. 60函数 ff 定义为 f:x↦x2−4xf : x \mapsto x^2 - 4x，x∈Rx \in \mathbb{R}，∣x∣<1|x| < 1。 证明 f−1f^{-1} 存在，并以类似的格式求出 f−1f^{-1}。 函数 gg 定义为 g:x↦1+1x+3g : x \mapsto 1 + \dfrac{1}{x+3}…