设 $f(x) = 2x^2 - 10x + 6$，$x \leq k$。 a 求使 $f^{-1}(x)$ 存在的最大 $k$ 值。 b 对此 $k$ 值：i 求 $f^{-1}(x)$。ii 写出 $f^{-1}(x)$ 的定义域和值域。

1. 通过配方求二次函数顶点与对称轴

将 $f(x) = 2x^2 - 10x + 6$ 配方：
$f(x) = 2\left(x^2 - 5x\right) + 6 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - 2 \times \frac{25}{4} + 6 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$
因此抛物线的对称轴为 $x = \dfrac{5}{2}$。

2. 利用单调性确定反函数存在的最大 $k$ 值

反函数 $f^{-1}(x)$ 存在的充分必要条件是 $f(x)$ 在定义域上为单调函数（一一对应）。
由于 $f(x)$ 在区间 $\left(-\infty, \dfrac{5}{2}\right]$ 上单调递减，在 $\left[\dfrac{5}{2}, +\infty\right)$ 上单调递增，
所以对于定义域 $x \le k$，要使 $f(x)$ 单调，最大可能的值为 $k = \dfrac{5}{2}$。

1. 用 $y$ 表示 $f(x)$ 并解出包含 $x$ 的方程

当 $k = \dfrac{5}{2}$ 时，设 $y = f(x) = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$（其中 $x \le \dfrac{5}{2}$）。
整理得：
$y + \frac{13}{2} = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2$
$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{2y + 13}{4}$

2. 结合定义域约束开方求出 $x$ 并写出反函数

因为 $x \le \dfrac{5}{2}$，所以 $x - \dfrac{5}{2} \le 0$。两边开平方需取负号：
$x - \frac{5}{2} = -\sqrt{\frac{2y + 13}{4}} = -\frac{\sqrt{2y + 13}}{2}$
$x = \frac{5 - \sqrt{2y + 13}}{2}$
交换变量 $x$ 和 $y$，得反函数表达式为：
$f^{-1}(x) = \frac{5 - \sqrt{2x + 13}}{2}$

1. 求 $f(x)$ 的值域，从而确定 $f^{-1}(x)$ 的定义域

对于 $f(x) = 2\left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{13}{2}$（定义域 $x \le \dfrac{5}{2}$），当 $x = \dfrac{5}{2}$ 时取得最小值 $-\dfrac{13}{2}$，且随着 $x \to -\infty$，$f(x) \to +\infty$。
因此，$f(x)$ 的值域为 $\left[-\dfrac{13}{2}, +\infty\right)$。
由原函数值域即为反函数定义域，可得 $f^{-1}(x)$ 的定义域为 $x \ge -\dfrac{13}{2}$（或 $[-6.5, +\infty)$）。

2. 利用 $f(x)$ 的定义域得出 $f^{-1}(x)$ 的值域

由原函数的定义域即为反函数的值域，得知：
$f^{-1}(x)$ 的值域为 $f^{-1}(x) \le \dfrac{5}{2}$（或 $(-\infty, 2.5]$）。