数学知识点English

反函数定义域限制

为获得反函数而进行的定义域限制。

这个知识点的练习题

  1. 1曲线 C 的方程为 x+y=(x−y)2x + y = (x - y)^2。 已知 C 只有一个转向点。 证明 1−dydx=21+2x−2y1 - \frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + 2x - 2y}。 由此，或用其他方法，证明 d2ydx2=(1−dydx)3\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \left(1 - \frac{dy}{dx}\right)^3…
  2. 2函数 f, g 和 h 定义如下： f : x→sin⁡(πx),x∈R,0≤x≤2x \rightarrow \sin(\pi x), x \in \mathbb{R}, 0 \le x \le 2, g : x→ax,x∈R,x≥−1x \rightarrow a^{x}, x \in \mathbb{R}, x \ge -1…
  3. 3函数 ff 和 gg 的定义为 f:x↦∣(x+1)(x−3)∣,x∈R,f: x \mapsto |(x+1)(x-3)|,\quad x \in \mathbb{R}, g:x↦x−2,x∈R 且 x≥−1.g: x \mapsto x-2,\quad x \in \mathbb{R}\text{ 且 }x \ge -1.…
  4. 4函数 f 和 g 定义为 f:x↦[ln⁡(x−1)]2+2,x≥a,f : x \mapsto [\ln(x-1)]^{2} + 2,\quad x \ge a, g:x↦4+3x−x2,x≤32.g : x \mapsto 4 + 3x - x^{2},\quad x \le \frac{3}{2}. 已…
  5. 5函数 gg 定义为 g(x)={21+x2if x≤0,0if x>0.g(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{2}{1+x^2} &\text{if } x\le 0,\\[4pt] 0 &\text{if } x>0. \end{cases}…
  6. 6函数 f\mathrm{f} 定义为 f:x↦5+2x\mathrm{f} : x \mapsto \sqrt{5+2x}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R} 且 x>−52x > -\frac{5}{2}。 求满足 f2(a)=5\mathrm{f}^2(a) = 5…
  7. 7函数 f 和 g 的定义为 f:x↦x2+3x+1, x∈R, x≤−32,f : x \mapsto x^2 + 3x + 1,\ x \in \mathbb{R},\ x \le -\frac{3}{2}, g:x↦3+e−x, x∈R.g : x \mapsto 3 + e^{-x},\ x \in \mathbb{R}.…
  8. 8函数 f 定义为 f:x↦ex+12x+2对于 x∈R, x≠−1.f : x \mapsto e^x + \dfrac{1}{2x+2}\quad\text{对于 } x \in \mathbb{R},\ x \ne -1. 函数 g 定义在 x∈R, x≥1x \in \mathbb{R},\ x \ge 1…
  9. 9曲线 CC 的方程为 y=2ax+bxy = 2ax + \frac{b}{x}，其中 aa 和 bb 为非零实常数且 x≠0x \ne 0。 利用求导，确定当 ab<0ab < 0 时曲线 CC 是否存在任何驻点。 现在已知 b=12ab = \frac{1}{2}a…
  10. 10函数 f 定义为 f:x↦1x2+6x+5f : x \mapsto \dfrac{1}{x^2 + 6x + 5}，其中 x≥−3x \ge -3 且 x≠−1x \ne -1。 函数 g 定义为 g:x↦exg : x \mapsto e^x，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}…
  11. 11专题 4：函数 [MI/2014/MYE PU1/13] 函数 f\mathrm{f} 的定义为： f:x↦x2−6x+14,x∈R.\mathrm{f} : x \mapsto x^2 - 6x + 14, \quad x \in \mathbb{R}.…
  12. 12函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 的定义为 f:x→4(x−4)2,x∈R,x≠4,\mathrm{f} : x \to \frac{4}{(x-4)^2}, \quad x \in \mathbb{R}, x \ne 4, g:x→ln⁡(1+1x),x∈R,x>0.\mathrm{g} : x \to \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right), \quad x \in \mathbb{R}, x > 0.…
  13. 13函数 ff 定义为 f:x↦5(x−4)2f : x \mapsto \dfrac{5}{(x-4)^2}，其中 x∈R, x<4x\in\mathbb{R},\ x<4。 求 f−1(x)f^{-1}(x) 并写出 f−1f^{-1} 的定义域。 在同一个清晰标示的图中，画出…
  14. 14函数 ff 和 gg 的定义为 f:x↦1−1x2−1f : x \mapsto 1-\dfrac{1}{x^{2}-1} 对于 x∈R,  x<−1x \in \mathbb{R},\; x<-1， g:x↦x2+4x+5g : x \mapsto x^{2}+4x+5 对于 x∈R,  x≤1x \in \mathbb{R},\; x\le 1…
  15. 15函数 f 定义为 f:x↦{a2x−ax2for x≤12a,−12a2x+12a3for x>12a.f : x \mapsto \begin{cases} a^2 x - a x^2 & \text{for } x \le \tfrac{1}{2}a, \\ -\tfrac{1}{2}a^2 x + \tfrac{1}{2}a^3 & \text{for } x > \tfrac{1}{2}a. \end{cases}…
  16. 16函数 f 的定义如下： f(x)=x+1x−a,a<x≤bf(x)=x+\frac{1}{x-a},\qquad a<x\le b 其中 a 为正常数。 已知 f−1f^{-1} 存在，证明 b≤a+1b \le a+1。 已知 a=1a = 1 且 b=2b = 2，求 f−1(x)f^{-1}(x)…
  17. 17函数 gg 定义为 g(x)={21+x2if x≤0,0if x>0.g(x)=\begin{cases} \dfrac{2}{1+x^2} &\text{if } x \le 0, \\ 0 &\text{if } x > 0. \end{cases} 给出 gg 没有反函数…
  18. 18下图显示了 y=f(x)y=f(x) 的图像。 在同一图上画出 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 的图像，清晰标出任何渐近线方程以及曲线与坐标轴交点的坐标。并说明这两个图像之间的几何关系。 函数 gg 定义为 g:x↦x2+6x+5g:x\mapsto x^{2}+6x+5…
  19. 19函数 f 定义为 f:x↦12−x2,x∈R,  x≤0,  x≠−2 .f:x\mapsto\dfrac{1}{2-x^2},\quad x\in\mathbb{R},\;x\le 0,\;x\ne -\sqrt{2}\,. 以类似的格式定义反函数 f−1f^{-1}。 在同一坐标系中画…
  20. 20若对于函数 f\mathrm{f} 定义域内的所有 xx，都有 f(x)=f−1(x)\mathrm{f}(x) = \mathrm{f}^{-1}(x)，则称该函数为自身反函数。 函数 g\mathrm{g} 定义为 g:x↦x2+2x2−1,x>1.\mathrm{g} : x \mapsto \sqrt{\frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}}, \quad x > 1.…
  21. 21函数 f\mathrm{f} 的定义为 f:x↦ln⁡x2−(ln⁡x)2,x>0.\mathrm{f} : x \mapsto \ln x^2 - (\ln x)^2, \quad x > 0. 草拟 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图像，并清晰标出与坐标轴的所…
  22. 22函数 f 定义如下： f:x↦x2−3xf : x \mapsto x^2 - 3x，对于 ∣x∣<a|x| < a。 (i) 写出使反函数 f−1f^{-1} 存在的最大 aa 值。由此求出 f−1(x)f^{-1}(x)，并写出在此 aa 值下 f−1f^{-1}…
  23. 23图中显示了方程为 y=12(3x+2)2+4y = \frac{12}{(3x+2)^2 + 4} 的曲线 CC，其转向点为 (−23,3)\left(-\frac{2}{3}, 3\right)。区域 RR 由曲线 CC、yy 轴以及直线 y=3y = 3 围成。…
  24. 24图中的函数 ff 在 0≤x≤60 \le x \le 6 上定义如下： f:x↦12x2for 0≤x≤2,f : x \mapsto \tfrac{1}{2}x^{2}\quad\text{for }0 \le x \le 2, f:x↦12x+1for 2<x≤6.f : x \mapsto \tfrac{1}{2}x + 1\quad\text{for }2 < x \le 6.…
  25. 25函数 f 的定义如下。 f : x−>−1x2+1x -> \displaystyle -\frac{1}{x^{2}+1}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}。 画出 y = f(x) 的图像草图。 如果 f 的定义域限制为 x≤kx \le k…
  26. 26函数 f 和 g 定义为 f:x↦∣(x+1)(x−3)∣,x∈R,f:x\mapsto |(x+1)(x-3)|,\quad x\in\mathbb{R}, g:x↦x−2,x∈R 且 x≥−1.g:x\mapsto x-2,\quad x\in\mathbb{R}\ \text{且 } x\ge -1.…
  27. 27设 f(x)=2x2−10x+6f(x) = 2x^2 - 10x + 6，x≤kx \leq k。 a 求使 f−1(x)f^{-1}(x) 存在的最大 kk 值。 b 对此 kk 值：i 求 f−1(x)f^{-1}(x)。ii 写出 f−1(x)f^{-1}(x)…
  28. 28函数 ff 定义为 f:x↦x2−4xf : x \mapsto x^2 - 4x，x∈Rx \in \mathbb{R}，∣x∣<1|x| < 1。 证明 f−1f^{-1} 存在，并以类似的格式求出 f−1f^{-1}。 函数 gg 定义为 g:x↦1+1x+3g : x \mapsto 1 + \dfrac{1}{x+3}…
  29. 29函数 ff 定义为 f:x↦e(x+c)2f : x \mapsto e^{(x+c)^2}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}，x≤kx \le k，c>0c>0。 用 cc 表示使反函数 f−1f^{-1} 存在的 kk 的最大值。 在问题的其余…
  30. 30函数 ff 和 gg 的定义如下： f:x↦4(x−4)2,x∈R, x≠4,f : x \mapsto \dfrac{4}{(x-4)^2},\quad x \in \mathbb{R},\ x \ne 4, g:x↦ln⁡ ⁣(1+1x),x∈R, x>0.g : x \mapsto \ln\!\left(1 + \dfrac{1}{x}\right),\quad x \in \mathbb{R},\ x > 0.…
  31. 31函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 定义为 f:x↦∣4+2x−x2∣, x∈R, x≥3.5,\mathrm{f} : x \mapsto \left| 4 + 2x - x^2 \right|, \ x \in \mathbb{R}, \ x \ge 3.5,…
  32. 32函数 f 的定义为 f : x↦2x2−8x+11x \mapsto 2x^2 - 8x + 11，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}。 (i) 将 f(x) 表示为 a(x+b)2+ca(x+b)^2 + c 的形式，其中 a、b 和 c 是常数。 (ii) 写…
  33. 33函数 f\mathrm{f} 定义为 f:x↦x2+4x−5,对于 x≤k,k∈R.\mathrm{f} : x \mapsto x^2 + 4x - 5, \quad \text{对于 } x \le k, k \in \mathbb{R}. 求使 f−1\mathrm{f}^{-1}…
  34. 34函数 f\text{f} 和 g\text{g} 定义如下： f:x↦ln⁡(3x−2)x,x>23\text{f} : x \mapsto \frac{\ln(3x - 2)}{x}, x > \frac{2}{3} g:x↦3x2−12x+13,x∈R\text{g} : x \mapsto 3x^2 - 12x + 13, x \in \mathbb{R}…
  35. 35函数 f\text{f} 和 g\text{g} 的定义为 f:x↦12e1−x2, x∈R, x≤1 and\text{f} : x \mapsto \frac{1}{2}\text{e}^{1-x^2}, \ x \in \mathbb{R}, \ x \le 1 \text{ and}…
  36. 36函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 定义为 f:x↦x2+2x+4,x≤−1andg:x↦ln⁡(2x−1),x>12.\mathrm{f} : x \mapsto x^2 + 2x + 4, \quad x \le -1 \quad \text{and} \quad \mathrm{g} : x \mapsto \ln(2x - 1), \quad x > \frac{1}{2}.…
  37. 37函数 f\text{f} 定义为 f:x↦2x2+5x−3,x∈R,x≤a.\text{f} : x \mapsto 2x^2 + 5x - 3, \quad x \in \mathbb{R}, \quad x \le a. 写出使得反函数 f−1\text{f}^{-1}…
  38. 38函数 f\text{f} 的定义为 f:x↦x2+4x\text{f} : x \mapsto \frac{x^2 + 4}{x}， x∈Rx \in \mathbb{R}。 说明为什么 f\text{f} 没有反函数。 现将定义域限制为 0<x≤20 < x \le 2…
  39. 39函数 ff 定义为 f:x↦6x−x2f : x \mapsto 6x - x^{2}。 在本题的后续部分中，假设 ff 的定义域为 [3,∞)[3,\infty)。 ff 的定义域由 [a,∞)[a, \infty) 给出。通过画出当 a=3a = 3 时 y=f(x)y = f(x)…
  40. 40曲线 CC 的方程为 y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c，其中 aa，bb 和 cc 是常数。 已知 CC 通过点 (−2,17)(-2, 17)，(12,34)\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right) 和 (5,3)(5, 3)…
  41. 41函数 f 定义为： f:x↦ex+12x+2对 x∈R, x≠−1.f : x \mapsto e^{x} + \dfrac{1}{2x+2}\quad\text{对 } x \in \mathbb{R},\ x \ne -1. 定义在 x∈R, x≥1x \in \mathbb{R},\ x \ge 1…
  42. 42函数 f\mathrm{f} 由下式给出： f:x↦14−(2x+1)2,x∈R, x≤−12, x≠−32.\mathrm{f} : x \mapsto \frac{1}{4 - (2x + 1)^2}, \quad x \in \mathbb{R}, \ x \le -\frac{1}{2}, \ x \ne -\frac{3}{2}.…
  43. 43函数 f\text{f} 的定义为 f:x↦(x−2)2−4,x∈R, x≥0.\text{f} : x \mapsto (x-2)^2 - 4,\quad x \in \mathbb{R},\ x \ge 0. 草拟 f\text{f} 的图像，并解释为什么函数 f−1\text{f}^{-1}…
  44. 44函数 f\mathrm{f} 和 g\mathrm{g} 的定义为 f:x↦x−1x,x<0,g:x↦sin⁡x,0≤x≤2π.\begin{aligned} \mathrm{f} &: x \mapsto x - \frac{1}{x}, \quad x < 0, \\ \mathrm{g} &: x \mapsto \sin x, \quad 0 \le x \le 2\pi. \end{aligned}…
  45. 45函数 f\text{f} 和 g\text{g} 的定义为 f:x↦x2−2x+5对于 x∈R,g:x↦1x−1对于 x∈R, x≠1.\begin{aligned} \text{f} &: x \mapsto x^2 - 2x + 5 \quad \text{对于 } x \in \mathbb{R}, \\ \text{g} &: x \mapsto \frac{1}{x - 1} \quad \text{对于 } x \in \mathbb{R}, \ x \ne 1. \end{aligned}…