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隐函数与参数方程求导

由隐函数或参数方程定义的简单函数的求导。

这个知识点的练习题

1曲线 C 的方程为 $x + y = (x - y)^2$ 。已知 C 只有一个转向点。证明 $1 - \frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + 2x - 2y}$ 。由此，或用其他方法，证明 $\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \left(1 - \frac{dy}{dx}\right)^3$ …
2曲线 C 的方程为 $x + y = (x - y)^2.$ 已知 C 只有一个驻点。证明 $1 - \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2}{1 + 2x - 2y}$ 。由此或用其他方法，证明 $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \left(1 - \dfrac{dy}{dx}\right)^3.$ …
3曲线 $C_1$ 的方程为 $p^2x^2 - y^2 = p^2$ ，其中 $p > 1$ 。画出 $C_1$ 的草图，用 $p$ 表示出其与坐标轴的所有交点坐标、所有驻点坐标以及所有渐近线方程。 $C_1$ 经过单一变换得到 $C_2$ 。…
4曲线 $C$ 的参数方程为 $x = 2\cos\theta + \cos 2\theta, \quad y = 2\sin\theta - \sin 2\theta,$ 其中 $0 < \theta < 2\pi$ 且 $\theta \ne \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$ …
5已知 $y = \sqrt{1 + \tan^{-1} 2x}$ ，其中 $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ 。证明 $y \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + \frac{8x}{(1 + 4x^2)^2} = 0.$ …
6求不等式 $\frac{2x+1}{x^2-1} \le 1$ 的精确解。曲线 $G$ 的方程为 $ay^2 + bx^3 + cx = 2$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是常数。已知 $G$ 经过点 $(1, \sqrt{3})$ …
7曲线 C 的参数方程为 $x = at,\; y = at^{3}$ ，其中 $a$ 为正常数。曲线上的点 P 的参数为 $p$ ，曲线在点 P 处的切线与 $y$ 轴交于点 S，与 $x$ 轴交于点 T。点 M 是 ST 的中点。求当 $p$ …
8曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x - 2}{kx^2 + x - 2}$ ，其中 $k > 1$ 。求 $C$ 与 $y$ 轴相交的点 $A$ 处的切线方程。画出 $C$ 的草图，并用含 $k$ 的式子给出渐近线方程、极值点…
9证明对于 $x>1$ ， $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)=-\dfrac{x}{(x^2-1)^{3/2}}\,.$ $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin^{-1}\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,.$ …
10若 $y = \tan^{-1} \sqrt{x^2 - 1}$ ，求用 $x$ 表示的 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 的表达式。已知对于 $x > 0$ ， $y = x^{\cos x}$ 。通过先取对数，求用…
11求下列每个式子关于 $x$ 的导数。 $\tan^{-1} \sqrt{2 + x^3}$ $\ln \left( \frac{x}{\sqrt{1 - x}} \right)$
12已知 $y = \tan^{-1} \dfrac{1}{5} x$ ，证明 $\left(25 + x^2\right) \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 2x \dfrac{dy}{dx} = 0$ 。通过对此结果的进一步求导，求…
13已知 $\text{e}^y = 2 + \text{e}^x$ 。证明 $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + \left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ …
14已知 $y = \sqrt{1+\tan x}$ 。证明 $2y\,\dfrac{dy}{dx} = 1 + (y^{2}-1)^{2}$ 且 $y\,\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2} = 2y(y^{2}-1)\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ …
15[球体的表面积和体积分别由 $4\pi r^2$ 和 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ 给出。] 一位预算固定为 $k 的水族爱好者想要建造一个金鱼避难所（鱼缸）。他设计的鱼缸包括一个圆形顶盖、一个长度为 $L$ cm 的圆柱体…
16曲线 C 的方程为 $\dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac{3a-x}{a+x},\quad x \ne 0,$ 其中 $a$ 是正常数。使用代数方法确定 $x$ 的取值范围，结果用 $a$ 表示。在本题的其余部分中，取…
17曲线上的点 $(x,y)$ 满足方程 $x = \tfrac{1}{2}t^2 - 2t$ 和 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2t - 1}$ 其中 $t$ 为参数， $t > 2$ 。已知当 $t = 4$ …
18一位德明政府中学校友计划捐资在正信园中央建造两个锦鲤池。这两个水池的形状分别为“D”和“H”，如下图所示（所有尺寸单位均为米，图示未按比例绘制）。阴影区域表示水池表面。“D”形池由一个 $3h$ 乘 $h$ 的矩形和由两个半径分别为 $2r$ …
19Given that $y^{\cos x} = x^{\sin 2x}$ , find the exact value of $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ at $x = \pi$ .
20如图所示，点 $Q$ 在点 $A$ 的正上方 $400\text{ m}$ 处。初始时，一个气球位于点 $Q$ ，并以 $10\text{ m}$ 每秒的恒定速度沿水平直线运动，远离位于点 $A$ 的观察者。在开始后的时刻 $t$ 秒时，气球…
21如图所示，一个铅球从点 $O$ 以速度 $v\text{ ms}^{-1}$ 抛出，抛射角与水平方向成 $\theta$ 。点 $O$ 位于地面上点 $A$ 的上方 $1.5\text{m}$ 处。以包含该抛体运动轨迹的平面为 $x$ - $y$ …
22曲线 $C$ 的参数方程为 $x = 3t^2, \quad y = 6t^3, \quad \text{where } t \text{ is a real parameter.}$ 画出 $C$ 的草图。求曲线 $C$ 上切线平行…
23在某栋建筑中，有一个 $L$ 形通道（见下图）。通道 1 的固定宽度为 3 米，与通道 1 垂直的通道 2 的固定宽度为 2 米。点 $A$ 和点 $B$ 分别位于通道 1 和通道 2 的一侧墙壁上，使得线段 $AB$ 接触转角 $O$ ，且…
24已知 $x^2 y - \tan^{-1} y = \frac{3}{4}\pi$ 。用 $x$ 和 $y$ 表示 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 。由此求出当 $y = 1$ 时 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ …
25已知 $y = \sqrt{1 + \tan^{-1} 2x}$ ，其中 $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ 。证明 $y \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + \frac{8x}{(1 + 4x^2)^2} = 0$ …
26点 $P$ 沿方程为 $y = x \sin^{-1} x$ （ $-1 < x < 1$ ）的曲线 $C$ 移动。设曲线 $C$ 在点 $P$ 处的斜率为 $m$ 。如果在 $x = \frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 的 $x$ 坐标以…
27曲线 $C$ 的方程为 $x^2 y + y^4 = 5$ 。用 $x$ 和 $y$ 表示 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 。求平行于 $x$ 轴的 $C$ 的两条切线之间的精确距离。
28已知 $y= e^{\sin^{-1}2x}$ ，证明 $\left(1-4x^{2}\right)\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=4y+4x\dfrac{dy}{dx}$ 。已知 $y= e^{\sin^{-1}2x}$ ，证明…
29已知曲线方程为 $y=\dfrac{x^2-3a^2}{x-a}$ ，其中 $a$ 是正常数。求该曲线的渐近线方程，并证明该曲线上没有驻点。草拟该图像，用含有 $a$ 的式子写出其与坐标轴任何交点的坐标。通过考虑 $y=f'(x)$ 的…
30曲线 C 由参数方程定义： $x = \cos\theta - \dfrac{1}{\cos\theta},\ \ y = \cos\theta + \dfrac{1}{\cos\theta},\ \ -\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}.$ …
31曲线的方程为 $x^2 - 2xy + 2y^2 = 20$ 。求该曲线在点 $P(2,4)$ 处的切线与法线方程。在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $A$ ，在点 $P$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $B$ 。求三角形 $APB$ …
32曲线 $C$ 的方程为 $y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)$ 。区域 $R$ 由 $C$ 、直线 $y=\ln 2$ 、 $x=1$ 和 $x=-1$ 围成。求 $R$ 的精确面积。曲线 $C$ 的参数方程定义…
33函数 f 定义为 $f : x \mapsto e^x + \dfrac{1}{2x+2}\quad\text{对于 } x \in \mathbb{R},\ x \ne -1.$ 函数 g 定义在 $x \in \mathbb{R},\ x \ge 1$ …
34对于方程为 $x^2 - 3xy + y^3 = 8$ 的曲线，求切线平行于 $x$ 轴的点的 $x$ 坐标，在 $y = 2$ 的点处的法线方程。
35一位农民拥有一块土地 $OAB$ ，其相邻两边为 $OA$ 和 $OB$ 。以 $O$ 为原点， $OA$ 和 $OB$ 分别平行于 $x$ 轴和 $y$ 轴。弧 $AB$ 由参数方程表示： $x = \cos\theta, \quad y = \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta, \quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.$ …
36[Cambridge/2003] 画出参数方程为 $x = 3t, \quad y = \frac{3}{t}$ 的曲线草图。曲线上的点 $P$ 的参数为 $t = 2$ 。点 $P$ 处的法线与曲线再次交于点 $Q$ 。证明点…
37变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程 $\pi \dfrac{dy}{dx} + y(3 - \pi \tan x) = 0$ 。通过代换 $y = z\sec x$ ，证明 $\dfrac{dz}{dx} = -\dfrac{3z}{\pi}$ …
38已知 $y = \ln(2 - \text{e}^{-2x})$ 。证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 4\text{e}^{-y} - 2$ 。由此求出 $y$ 的麦克劳林级数，直到包含 $x^2$ 的项。…
39在顶点为 A、B 和 C 的三角形中，角 $BAC$ 是直角，且角 $ABC=\frac{\pi}{3}-x$ 。证明 $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1+\sqrt{3}\tan x}{\sqrt{3}-\tan x}$ 。…
40对 $x$ 求 $\tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ 的导数。你应该将答案化简为最简的单一分式形式。
41在三角形 $ABC$ 中，已知 $AB = 2$ ， $BC = \sqrt{3}$ ， $AC = x$ ，角 $ABC = \frac{\pi}{6} + \theta$ 弧度（见图）。证明 $x^{2} = 7 - 6\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta$ …
42曲线 C 的参数方程为 $x=2a\cos\left(t+\tfrac{\pi}{6}\right),\quad y=a\sin t,$ 其中 $0\le t<2\pi$ ， $a$ 是一个正常数。下方给出了曲线 C 的草图，其中 C 与…
43求下列各项对 $x$ 的导数： $e^{\frac{4}{\sqrt{x}}}$ , $\ln\left(\frac{\sin x}{2 - \sin x}\right)^2$ 。
44曲线 $C$ 的参数方程为 $x = 2t - \\frac{1}{t^2}, \\quad y = 2t + \\frac{1}{t}, \\quad t \\in \\mathbb{R}, t \\ne 0.$ 曲线上的点 $P$ …
45曲线 $C$ 由参数方程 $x = t^2$ 和 $y = 2t + t^3$ 定义，其中 $-1 \le t \le 1$ 。草拟 $C$ 的图像。在不使用计算器的情况下，求 $C$ 在 $t = \frac{1}{2}$ 处的法线方程…
46证明 $\dfrac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x$ 证明 $\sin 2x\cot x = 2\cos^2 x$ 由此，求 $\displaystyle\int_{\tfrac{\pi}{30}}^{\tfrac{\pi}{5}} \csc(10x)\tan(5x)\,dx$ …
47已知一曲线的参数方程为 $x = 2t - \frac{1}{t}$ 且 $y = t + \frac{1}{t}$ 其中 $t$ 为参数且 $t \ne 0$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2(2t^2+1)}$ …
48曲线 $C$ 的方程为 $3x^2 - 2xy + 5y^2 = 14.$ 证明 $\frac{dy}{dx} = \frac{3x - y}{x - 5y}.$ 求曲线 $C$ 上切线平行于 y 轴的点精确的 x 坐标。动点 $P(x,y)$ …
49已知 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+5}{y^2}$ ，且当 $x=0$ 时， $y=5$ 。求 $y$ 的麦克劳林级数展开式，保留到包含 $x^3$ 的项，并将系数写成精确形式。
50已知一曲线的参数方程为 $x=2t$ ， $y=e^{-t^2}$ 。草拟该曲线的图像，写出其与坐标轴任何交点的精确坐标以及任何渐近线的方程。求该曲线在点 $\left(2p,e^{-p^2}\right)$ 处的法线方程。在点 $C\left(2,\frac{1}{e}\right)$ …
51抛体运动是指发射物体的运动，其仅受重力加速度常数 $g\text{ ms}^{-2}$ 的作用。该物体被称为抛体，其路径被称为轨迹。如上图所示，一个抛体从原点以大小为 $u\text{ ms}^{-1}$ 的初速度发射，其发射角与水平方向…
52求下列各式的 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ ，并将结果化简。 $y = \sin^{-1}(e^x)$ $y = \ln\left(\frac{1+\ln x}{x^x}\right)$
53星形线（astroid）是具有参数方程 $x = a \cos^3 t, \ y = a \sin^3 t.$ 的曲线。画出 $a = 2$ 且 $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ 时的星形线草图，并清晰地标出所有…
54通过代换 $x = \operatorname{cosec}\theta$ ，证明 $\int_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{2} \frac{1}{x^3 \sqrt{x^2 - 1}} \mathrm{d}x = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2(\theta) \mathrm{d}\theta$ …
55曲线 C 由参数方程定义： $x = a\left(1 + \dfrac{1}{t}\right)$ 且 $y = a\left(t - \dfrac{1}{t^2}\right)$ 其中 $a$ 是正常数且 $t \ne 0$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = -\left(\dfrac{2 + t^3}{t}\right).$ …
56通过代换 $u = x - y$ ，求解微分方程 $\dfrac{dy}{dx} + 4(x - y)^2\cos^2 x = \sin^2 x.$ 一种用于治疗糖尿病的新药以每天 $R$ 毫克的恒定速率输给患者。药物从患者体内流失的速率…
57曲线 $C$ 的参数方程为 $x = \sin \theta + 1 \quad \text{and} \quad y = \sqrt{3} \cos \theta - 1, \text{ where } -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}.$ …
58函数 f 的定义为 $f : x \mapsto x^{3} - 1$ , $x \in \mathbb{R}$ 。 (i) 求 $f^{-1}(x)$ 的表达式。 (ii) 在同一幅图上草绘 $y = f(x)$ 和 $y = f^{-1}(x)$ …
59[剑桥/9709/2009] 曲线方程为 $x^3 - x^2y - y^3 = 3$ 。用 $x$ 和 $y$ 表示 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 。求曲线在点 $(2, 1)$ 处的切线方程，结果用…
60下图显示了一个由曲线 $(y+5)^{2}=x-3$ 和直线 $y=x-10$ 所围成的区域 $R$ 。求 $R$ 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。下图显示了一个由曲线 $(y+5)^{2}=x-3$ 和直线 $y=x-10$ 所围…