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复数运算的几何意义

以下运算在阿甘图中的几何效应：求共轭、求相反数、加法、减法、乘以 ii。

这个知识点的练习题

  1. 1解方程 iz5=−32i z^5 = -32，将根写成 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。在阿甘特图上描绘出代表这些根的点 P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 和 P5P_5，其…
  2. 2解方程 iz5=−32iz^5=-32，求出其根并表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。在阿甘图上描绘出代表这些根的点 P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 和 P5P_5，其…
  3. 3复数 zz 满足方程 2 z3=1+22a−1 i,\sqrt{2}\,z^{3} = 1 + \dfrac{2}{2a - 1}\,i , 其中 aa 是实数。 已知 arg⁡(z3)=−π4\arg\bigl(z^{3}\bigr) = -\dfrac{\pi}{4}。 证…
  4. 4复数 aa 的模为 rr，辐角为 θ\theta，其中 r∈R+r \in \mathbb{R}^+ 且 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}。复数 bb 满足 b=−2iab = -2ia，复数 cc 为纯虚数且虚部为负…
  5. 5点 A 表示一个固定的复数 aa，满足 −π2<arg⁡a<0-\dfrac{\pi}{2}<\arg a<0。复数 iaia 和 a+iaa+ia 分别由点 B 和 C 表示。在清晰标注的阿甘图（Argand diagram）上，画出点 A、B、C 以及表示…
  6. 6点 AA 表示复数 aa，满足 ∣a∣=1|a|=1 且 θ=arg⁡(a),  0<θ<π4\theta=\arg(a),\; 0<\theta<\dfrac{\pi}{4}。点 BB 表示复数 iaia。 复数 zz 满足关系式 ∣z−ia∣≤2and∣z−ia∣=∣z−a∣.|z-ia|\le\sqrt{2}\quad\text{and}\quad|z-ia|=|z-a|.…
  7. 7复数 zz 随 tt 变化，满足 z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),where 0≤t<2π.z = 2\cos t + \mathrm{i}(3\sin t), \quad \text{where } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re(z)x = \mathrm{Re}(z) 且 y=Im(z)y = \mathrm{Im}(z)…
  8. 8复数 aa 和 bb 由 a=−(1+3i)a = -(1 + \sqrt{3}\text{i}) and b=12(1−i)b = \frac{1}{2}(1 - \text{i}) 给出。 不使用计算器，求出形如 x+iyx + \text{i}y 的 a2ba^2b…
  9. 9已知 z=λ−4i1−λiz = \frac{\lambda - 4i}{1 - \lambda i}，其中 λ∈R\lambda \in \mathbb{R} 且 arg⁡(z)=π\arg(z) = \pi，求 zz 的值。 解答本题时请勿使用计算器。 复数 zz…
  10. 10回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 的模为 1，辐角为 θ\theta，其中 π2<θ<π\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi，复数 ww 由 w=i3 zw = i\sqrt{3}\,z 给出。阿尔甘图（复平面）上的点 PP 表…
  11. 11解方程 z5+32=0z^{5}+32=0，将你的答案表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。 z1z_{1}，z2z_{2} 和 z3z_{3} 是 z5+32=0z^{5}+32=0 的三…
  12. 12点 P 和 Q 分别由复数 p 和 q 表示，其中 p=2+2i , arg⁡(q)=23π and ∣q∣=2.p=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\,,\ \arg(q)=\dfrac{2}{3}\pi\text{ and }|q|=2. 求 ∣p∣|p| 和 arg⁡(p)\arg(p) 的精确值。…
  13. 13下方阿冈德图（Argand diagram）上的点 A 表示模为 rr、辐角为 θ\theta 的复数 w1w_1。已知复数 w2w_2 和 w3w_3 满足方程 w2=−w1w_2 = -w_1 且 w3=iw2w_3 = i w_2。 设 B、C…
  14. 14复数 zz 随 tt 变化，满足： z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),其中 0≤t<2π.z = 2\cos t + i(3\sin t),\quad \text{其中 } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re⁡(z)x = \operatorname{Re}(z) 且 y=Im⁡(z)y = \operatorname{Im}(z)…
  15. 15回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 的模为 1，辐角为 θ\theta，其中 π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi，且复数 ww 由 w=i3zw = \mathrm{i}\sqrt{3}z 给出。阿尔冈…
  16. 16下方阿甘图（Argand diagram）上的点 AA 表示模为 rr、辐角为 θ\theta 的复数 w1w_1。已知复数 w2w_2 和 w3w_3 满足方程 w2=−w1 and w3=iw2.w_2 = -w_1 \text{ and } w_3 = \text{i}w_2.…
  17. 17复数 z 随 t 变化，满足 z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),其中 0≤t<2π.z = 2\cos t + i(3\sin t),\quad\text{其中 } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re(z)x = \mathrm{Re}(z) 且 y=Im(z)y = \mathrm{Im}(z)…