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数系的扩充

数系从实数到复数的扩充。复数的代数形式为 z=x+iyz = x + iy，其中 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} 且 ii 为虚数单位。

这个知识点的练习题

  1. 1解方程 z4=−4−4√3iz^4 = -4 - 4√3\mathrm{i}，将你的答案表示为 reiθr\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} 的形式，其中 r>0r > 0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。（不需要列出…
  2. 2解方程 z4=−4−43 iz^{4} = -4 - 4\sqrt{3}\,i，将答案表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r > 0 且 −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi。（不需要具体列出所有的根。） 由此解方程 w4=−1+3 iw^{4} = -1 + \sqrt{3}\,i…
  3. 3[剑桥/H2 数学 2007] 复数 ww 满足 ww∗+2w=3+4iww^* + 2w = 3 + 4i，其中 w∗w^* 是 ww 的共轭复数。求 ww，并表示为 a+iba + ib 的形式，其中 aa 和 bb 为实数。
  4. 4回答本题时请勿使用计算器。 已知 x=1+3ix = 1 + 3\mathrm{i} 是方程 x3+ax2+18x+b=0x^3 + ax^2 + 18x + b = 0 的一个根，求实数 aa 和 bb 的值以及其余的根。 复数 zz 和 ww 满足…
  5. 5求表示复数 z 的点 P 的轨迹的笛卡尔方程的最简形式，其中 ∣z+3∣=2 ℜ(z)|z+3|=2\,\Re(z)。在阿甘特图上画出该轨迹。 写出复数 ww 的模和辐角，其中 w=−2+(23) iw=-2+(2\sqrt{3})\,i。已知 wnw^{n} 是实数，求正整…
  6. 6解答本题时请勿使用计算器。 已知三个复数为 z1=1+iz_1 = 1 + i，z2=3−iz_2 = \sqrt{3} - i 和 z3=cos⁡π3+isin⁡π3z_3 = \cos \dfrac{\pi}{3} + i\sin \dfrac{\pi}{3}。 求 z1z2z3\dfrac{z_1 z_2}{z_3}…
  7. 7复数 aa 和 bb 由 a=−(1+3i)a = -(1 + \sqrt{3}\text{i}) and b=12(1−i)b = \frac{1}{2}(1 - \text{i}) 给出。 不使用计算器，求出形如 x+iyx + \text{i}y 的 a2ba^2b…
  8. 8证明 eiθ1−eiθ\frac{\text{e}^{\text{i}\theta}}{1 - \text{e}^{\text{i}\theta}} 可以表示为 k(icot⁡θ2−1)k\left(\text{i}\cot\frac{\theta}{2} - 1\right)…
  9. 9回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 的模为 1，辐角为 θ\theta，其中 π2<θ<π\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi，复数 ww 由 w=i3 zw = i\sqrt{3}\,z 给出。阿尔甘图（复平面）上的点 PP 表…
  10. 10解方程 z5+32=0z^{5}+32=0，将你的答案表示为 reiθre^{i\theta} 的形式，其中 r>0r>0 且 −π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi。 z1z_{1}，z2z_{2} 和 z3z_{3} 是 z5+32=0z^{5}+32=0 的三…
  11. 11等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 a>0a > 0 且 d≠0d \ne 0。 该等差数列的第一、第六和第九项是某等比数列的连续三项。 证明 25d=−2a25d = -2a。 等差数列的前 nn 项和记为 SS。求满足 SS 大于…
  12. 12复数 zz 满足 az2+bz+a=0az^2 + bz + a = 0，其中 aa 和 bb 是实常数。已知 z=z0z = z_0 是该方程的一个解，其中 Im(z0)≠0\mathrm{Im}(z_0) \ne 0。 在接下来的问题中，取 Im(z0)=12\mathrm{Im}(z_0)=\frac{1}{2}…
  13. 13回答本题时请勿使用计算器。 复数 zz 的模为 1，辐角为 θ\theta，其中 π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi，且复数 ww 由 w=i3zw = \mathrm{i}\sqrt{3}z 给出。阿尔冈…
  14. 14在同一个阿冈德图中，绘制以下轨迹的草图，并清晰地标注每个轨迹。 ∣z∣=5,|z| = 5, ∣z+8∣=∣z−8i∣.|z + 8| = |z - 8i|. 满足上述方程的两个复数分别用 pp 和 qq 表示，其中 arg⁡(pq)>0\arg\left(\frac{p}{q}\right) > 0…
  15. 15在同一个阿根图上，画出由以下方程给出的轨迹： (a) ∣z−12−12i∣=12|z - 12 - 12\text{i}| = 12， (b) ∣iz−1−12i∣=5|\text{i}z - 1 - 12\text{i}| = 5。 由此或用其他方法，求同时满足 (a)…
  16. 16已知 ww 满足方程 ∣2w−1∣≤∣w+1∣|2w - 1| \le |w + 1|。 若 w∈Rw \in \mathbb{R}，求 ww 的取值范围。 由此，求满足 ∣2w−1w+1∣≥1\left|\frac{2w - 1}{w + 1}\right| \ge 1 的…
  17. 17在同一个阿甘图（Argand diagram）中，画出以下轨迹的草图，并清晰地标出每个轨迹。 ∣z∣=5|z| = 5。 ∣z+8∣=∣z−8i∣|z + 8| = |z - 8i|。 满足上述方程的两个复数用 pp 和 qq 表示，其中 arg⁡(pq)>0\arg\left(\frac{p}{q}\right) > 0…
  18. 18已知复数 z=reiπnz = r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{n}}，其中 0<r<10 < r < 1 且 nn 是满足 n≥3n \ge 3 的正整数。复数 11，zz，z2z^2，...，znz^n 分别可…