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无理方程

解含有二次根式的方程

这个知识点的练习题

1回答所有问题。已知 $a = \sqrt{\frac{b^2+4ac}{2a}}$ ，当 $a = 4$ 且 $c = -1$ 时，求 $b$ 的值。答： $b =$ ... 化简 $\left(\frac{125p^6}{q^{-3}}\right)^{-\frac{1}{3}} \times \left(\frac{3p^0}{\sqrt{q}}\right)^2$ …
2三角形 ABC 的面积为 $\dfrac{16 + 7\sqrt{10}}{2}\ \text{cm}^2$ ，AB 的长度为 $(3\sqrt{2} + \sqrt{5})\ \text{cm}$ ，且 AB 垂直于 BC。求 BC 的长度…
3求曲线 $x + 3 = 2xy$ 与曲线 $y = \frac{2}{\sqrt{x}}$ 的交点坐标。
4已知 $\frac{2^x \times 32(2^x)}{8^{x+1}} = \frac{9(5^{2x}) - 5^{2x+1}}{5^x - 5^{x-1}}$ 。在不使用计算器的情况下，求 $10^x$ 的值。解方程 $\sqrt{x+7} - x - 1 = 0$ …
5图中显示了曲线 $y = \sqrt{3x + 4}$ 的一部分。直线 $AB$ 在点 $A$ 处与曲线相切。点 $B$ 和 $C$ 位于 $x$ 轴上，且 $C$ 是曲线上的一个点。已知该曲线在点 $A$ 处的切线斜率为 $\frac{3}{2}$ …
6多项式 $f(x)$ 由 $f(x)=9x^3-30x^2-23x-4$ 给出。将 $f(x)$ 彻底因式分解。由此证明方程 $9x\sqrt{x}-23\sqrt{x}=4+30x$ 仅有一个实数根。求出该解。
7 $ABCD$ 是一个位于半径为 8 cm、圆心为 $O$ 的半圆内的矩形。已知 $AB = x$ cm 且 $BC = y$ cm。证明该矩形的面积 $A$ cm $^2$ 由 $A = \frac{x}{2}\sqrt{256 - x^2}$ …
8不使用计算器，求使得方程 $x\sqrt{24} = x\sqrt{3} + \sqrt{6}$ 的解为 $\frac{a + \sqrt{b}}{7}$ 的 $a$ 和 $b$ 的值。
9解方程 $8 - \sqrt{11 - 2x} = -x$ ，将答案表示为 $a + b\sqrt{c}$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 均为整数。
10图中显示了一个棱柱，其横截面为梯形 $ABCD$ 。 $AB = 4x\text{ cm}$ ， $BC = DC = AD = 2x\text{ cm}$ 。该棱柱的长度为 $d\text{ cm}$ 。证明梯形 $ABCD$ 的面积为 $3\sqrt{3}x^2\text{ cm}^2$ …
11在下图所示的三角形 $ABC$ 中，边 $AB$ 和 $AC$ 分别为 $(p - 6\sqrt{2})\text{ cm}$ 和 $(4 - \sqrt{2})\text{ cm}$ 。角 $BAC = 45^\circ$ 。已知三角形 $ABC$ …
12已知 $\sqrt {2x-6}+|y+2|=0$ ，则 $A(x,y)$ 所在象限是 $()$ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第三象限
13将 $\frac{30+18\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ 表示为 $r + s\sqrt{3}$ 的形式，其中 $r$ 和 $s$ 是整数。图中显示了一个三角形 $XYZ$ 。 $XY$ 的长度为 $(4 + 2\sqrt{3})$ …
14下图显示了 $y = 2\sqrt{2 + x}$ 图象的一部分。它交 x 轴于 $(-2,0)$ 。直线 $y = 2x$ 与该曲线交于 $P$ 点。曲线在 $P$ 点的法线交 x 轴于 $R$ 点。求 $R$ 的坐标。证明 $OPR$ …
15图示一个湖泊（阴影部分），其边缘有一条笔直平坦的道路 AXB。点 C 在湖面上，B 是距离 C 最近的点。距离 AB 为 30 m，BC 为 20 m。纳塔莉（Natalie）在道路上的 A 点，想要尽快到达 C 点。她的奔跑速度为 4…
16解方程 $2x^3 - x^2 - 15x - 10 = 0$ ，写出所有必要的解答步骤。解方程 $x - 3x + 1 = 0$ 。
17解方程 $3x = \sqrt{1-x} - 1$ 。一个三角形的底边长为 $(1+\sqrt{3})\text{ cm}$ ，面积为 $(14+8\sqrt{3})\text{ cm}^2$ 。 不使用计算器，求该三角形的高（单位为…
18解方程 $\sqrt{4x+12} - \sqrt{x+3} = 2$ 。一个直圆锥的体积为 $4\pi\text{ cm}^3$ 。其底面半径为 $(1+\sqrt{2})\text{ cm}$ 。在不使用计算器的情况下，求该圆锥的高，并表示…
19已知对于 $x > q$ ，有 $y = \frac{2x-1}{\sqrt{x+2}}$ 。写出 $q$ 的值。求 $\dfrac{dy}{dx}$ 。说明 $y = \dfrac{2x-1}{\sqrt{x+2}}$ 是增函数还是减函数…
20不使用计算器，求整数 $a$ 和 $b$ 的值，使得 $\frac{4 - \sqrt{3}}{a + b\sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}}.$
21 $ABCDEF$ 是一个临时观众看台的横截面图，其中 $AB$ 平行于 $FC$ 和 $ED$ ，且 $AE$ 平行于 $CD$ 。已知 $AB = x$ ， $ED = 4x$ ， $FE = y$ ， $AF = 2y$ 且 $BC = 10\text{ m}$ …
22证明 $\sin 105^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。下图显示了三角形 $ABC$ ，其中 $AB = 4\ \text{cm}$ ，角 $ABC = 105^\circ$ ，且三角形 $ABC$ …
23已知实数 $a$ 满足 $|2020-a|+\sqrt{a-2021}=a$ ，那么 $a-2020^{2}+1$ 的值是 ___.
24解方程 $\sqrt{2x+1} - \sqrt{x} = 1$ 。将 $\frac{\left(2\sqrt{3}-5\right)^2}{\sqrt{3}-2}$ 写成 $p\sqrt{3} + q$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ …
25设 $x _{1}$ 、 $x _{2}$ 是方程 $x ^{2} -6x+a=0$ 的两个根，以 $x _{1}$ 、 $x _{2}$ 为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数 $a$ 的取值范围是___．
26下列方程中没有实数解的是 $(\quad)$ A. $\sqrt{1-x}+\sqrt{x-1}=0$ B. $\sqrt{x+1}+2=0$ C. $2y+\dfrac{6}{y}=7$ D. $x^{2}-3x-6=0$ …
27不使用计算器，求整数 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值，使得方程 $5x - \sqrt{3} = 4 + \sqrt{3}\,x$ 的解为 $\frac{a + b\sqrt{3}}{c}.$ 已知 $\sin A = \tfrac{3}{5}$ …
28回答所有问题。 (a) 将 $\dfrac{6\sqrt{2}-9}{\sqrt{2}-1}$ 表示为 $a+b\sqrt{2}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。 (b) $\dfrac{6\sqrt{2}-9}{\sqrt{2}-1}$ …
29圆心为 $C$ 的圆的方程为 $x^2 + y^2 + px + \left(\frac{p}{2} + 4\right)y + k = 0$ ，其中 $p$ 和 $k$ 是常数。已知 $C$ 在直线 $3x - 2y - 8 = 0$ 上。…
30如图所示，一个直棱柱的底面为三角形 $ABC$ ，其中角 $BAC = 60^\circ$ 且 $AB = (2 + \sqrt{3})\text{ cm}$ 。该棱柱的高为 $\left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)\text{ cm}$ …
31一个四边形的面积为 $(13 - \sqrt{48})\text{ cm}^2$ 。若该四边形是一个宽度为 $(2 - \sqrt{3})\text{ cm}$ 的矩形，在不使用计算器的情况下，求该矩形的长度，表示为 $(a + b\sqrt{3})\text{ cm}$ …
32一个正方形的面积为 $(17-8\sqrt{2})\ \text{cm}^2$ 。该正方形的边长可以表示为 $(a+b\sqrt{2})\ \text{cm}$ 的形式，其中 $a$ and $b$ 是整数。证明 $2b^4-17b^2+16=0$ …
33不使用计算器，求整数 $a$ 和 $b$ 的值，使得方程 $xackslash√{18} - ackslash√{72} = xackslash√{3}$ 的解为 $\frac{a + 2\sqrt{b}}{5}$ 。