已知 $y = \tan 3x$。

1. 求一阶和二阶导数，并证明第一个关系式以求出常数 A

已知 $y = an 3x$。
对 $x$ 求一阶导数：
$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 3 \sec^2 3x$
再求二阶导数：
$\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} = 3 \cdot 2 \sec 3x \cdot (3 \sec 3x \tan 3x) = 18 \tan 3x \sec^2 3x$
将 $y = \tan 3x$ 和 $\sec^2 3x = \frac{1}{3} \frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 代入二阶导数表达式中：
$\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} = 18 y \left( \frac{1}{3} \frac{\text{d}y}{\text{d}x} \right) = 6 y \frac{\text{d}y}{ ext{d}x}$
对照题干形式 $\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} = A y \frac{\text{d}y}{ ext{d}x}$，得常数 $A = 6$。

2. 对二阶导数关系式求导，得到三阶导数表达式

由前一问结论，有 $\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} = 6 y \frac{\text{d}y}{ ext{d}x}$。
对等式两边关于 $x$ 继续求导（使用乘积法则）：
$\frac{\text{d}^3 y}{\text{d}x^3} = \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( 6 y \frac{\text{d}y}{ ext{d}x} \right) = 6 \left[ \frac{\text{d}y}{ ext{d}x} \cdot \frac{\text{d}y}{ ext{d}x} + y \cdot \frac{\text{d}^2 y}{ ext{d}x^2} \right] = 6 \left( \frac{\text{d}y}{ ext{d}x} \right)^2 + 6 y \frac{\text{d}^2 y}{ ext{d}x^2}$

3. 对三阶导数表达式再次求导，推导四阶导数关系式并求出常数 B 和 C

对三阶导数表达式关于 $x$ 再次求导：
$\frac{\text{d}^4 y}{\text{d}x^4} = \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left[ 6 \left( \frac{\text{d}y}{ ext{d}x} \right)^2 + 6 y \frac{\text{d}^2 y}{ ext{d}x^2} \right]$
应用链式法则与乘积法则展开：
$\frac{\text{d}^4 y}{\text{d}x^4} = 6 \cdot 2 \left( \frac{\text{d}y}{ ext{d}x} \right) \frac{\text{d}^2 y}{ ext{d}x^2} + 6 \left( \frac{\text{d}y}{ ext{d}x} \frac{\text{d}^2 y}{ ext{d}x^2} + y \frac{\text{d}^3 y}{ ext{d}x^3} \right)$
合并同类项：
$\frac{\text{d}^4 y}{\text{d}x^4} = 12 \frac{\text{d}y}{ ext{d}x} \frac{\text{d}^2 y}{ ext{d}x^2} + 6 \frac{\text{d}y}{ ext{d}x} \frac{\text{d}^2 y}{ ext{d}x^2} + 6 y \frac{\text{d}^3 y}{ ext{d}x^3} = 18 \frac{\text{d}y}{ ext{d}x} \frac{\text{d}^2 y}{ ext{d}x^2} + 6 y \frac{\text{d}^3 y}{ ext{d}x^3}$
对照题干形式 $\frac{\text{d}^4 y}{\text{d}x^4} = B \frac{\text{d}y}{ ext{d}x} \frac{\text{d}^2 y}{ ext{d}x^2} + Cy \frac{\text{d}^3 y}{ ext{d}x^3}$，得常数 $B = 18$，$C = 6$。