若函数$f\left(x\right)={{a}^{x}}(a>0,a\neq 1)$在$\left[-1,2\right]$上的最大值为$4$，最小值为$m$，且函数$g\left(x\right)=\left(1-4m\right){{x}^{2}}$在$\left[0,+\infty\right)$上是增函数，则$a=$___.

1. 对底数 $a$ 进行分类讨论，分析指数函数 $f(x)=a^x$ 在区间 $[-1,2]$ 上的单调性

对于指数函数 $f(x)=a^x$（$a>0, a\neq 1$），由于底数 $a$ 的取值范围不同，函数的单调性有所区别：
当 $a>1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上单调递增；
当 $0<a<1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上单调递减。

2. 分析 $a>1$ 的情形并进行检验与舍去

当 $a>1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上单调递增。
最大值为 $f(2)=a^2=4$，因为 $a>0$，解得 $a=2$。
此时最小值为 $m=f(-1)=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$。
将 $m=\dfrac{1}{2}$ 代入 $g(x)$ 得：$g(x)=\left(1-4\times\dfrac{1}{2}\right)x^2=-x^2$
因为 $g(x)=-x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 上是单调递减函数，与题设“在 $[0,+\infty)$ 上是增函数”矛盾，故 $a>1$ 不合题意，舍去。

3. 分析 $0<a<1$ 的情形并求出 $a$ 的值

当 $0<a<1$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上单调递减。
最大值为 $f(-1)=a^{-1}=\dfrac{1}{a}=4$，解得 $a=\dfrac{1}{4}$。
此时最小值为 $m=f(2)=\left(\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{1}{16}$。
将 $m=\dfrac{1}{16}$ 代入 $g(x)$ 得：$g(x)=\left(1-4\times\dfrac{1}{16}\right)x^2=\dfrac{3}{4}x^2$
因为二次项系数 $\dfrac{3}{4}>0$，所以 $g(x)=\dfrac{3}{4}x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 上是单调递增函数，符合题意。

4. 总结得出最终结果

综上所述，满足条件的 $a$ 值为 $\dfrac{1}{4}$。